专题02 均值、柯西、排序不等式-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

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考查思维
例一、【2021北大强基】设正整数，均不大于2021，且．则这样的数组个数为________．
考查技巧
例二、【2020清华强基】使得成立的最小正整数等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【2022年中科大3】已知，
（1）求满足什么条件恒成立。
（2）若存在,使得则满足什么条件。
知识要点拓展：
1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：
①，当且仅当时等号成立。
②，当且仅当时等号成立。
2.最值定理：若，则：
①如果P是定值, 那么当时，S的值最小；
②如果S是定值, 那么当时，P的值最大。
注意：
①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
基本不等式：设是个正实数，记，，
，，则，其中等号成立的条件是。分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
基本不等式主要用来解决多变量的比较大小；求取值范围和恒成立等问题。
在解题的过程中，首先要注意等式的变形；选用合适的基本不等式；
最后需要指出的是，在解题时先把等号成立条件解出来并注意变量之间的对称性常常会给我们带来意想不到的好处。
2.柯西不等式：
柯西不等式的二维形式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立。
柯西不等式的一般形式：设，是实数，则
，当且仅当
或存在一个数，使得时，等号成立。
3.柯西不等式的几个推论：
当时，柯西不等式即为，若（），则，此即上面提到的平方平均算术平均。
当（）时，有。
当（），则。
4.排序不等式（又称排序定理）：
给定两组实数；．如果；．那么

（反序和） （乱序和） （同序和）
其中是的一个排列．
该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值．
三、竞赛题目精练
【江苏竞赛】 设实数，满足. 证明：．
四、典例精讲
例1.证明柯西不等式
例2.证明：对任意实数a>1,b>1， 有 .
►链接：本题可以稍作引申：
当、、时，证明：
例3.设，那么的最小值是_____
►链接：如果题目变为，求的最小值，你会做吗？
例4. 为正的常数，，，求的最小值.
例5. （2011复旦千分考）设是一个正整数，则函数在正实半轴上的最小值是（ ）。
（B） （C） （D）
例6. （2002交大）若满足关系：，则 。
例7. （2009南大）为内一点，它到三边的距离分别为，为的面积。求证：（这里分别表示的长）。
例8. （2010浙大）有小于1的正数，且。求证：
。
例9. 设的三内角所对的边分别为，其周长为1.
求证：.
五、强基真题训练
（复旦）设满足，则的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（复旦）设实数，成等差数列，则下列一定成立的是（ ）
（B） （C） （D）
（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能取到的最小值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（复旦）给定正整数和正常数，对于满足不等式的所有等差数列和式的最大值为（ ）。
（B） （C） （D）
（交大）方程的两根满足，则 （）
（交大）已知，，则的最小值是 。
（交大）若且，则的最小值为 。
（交大），求的最小值。
（清华）已知，是的一个排列。求证。
（复旦）比较与的大小。
六、高考强化训练
【2021年】
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【2012年——2020年】
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca