江西省赣州市大余县部分学校2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省赣州市大余县部分学校2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若等比数列{an}满足anan+1＝4n，则其公比为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
2．已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，已知，，则
A．B．C．D．
4．已知是等比数列，，则（ ）
A．B．C．D．
5．《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（ ）里.
A．950B．1055C．1164D．
6．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
7．在等比数列中，若，则的值为（ ）
A．9B．1C．2D．3
8．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝4，an＋1＝2Sn－4，则S10＝（ ）
A．2×(310－1)B．2×(310＋1)
C．2×(39＋1)D．4×(39－1)
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）
A．2B．4C．D．
10．已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
11．已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（ ）
A．数列一定是等比数列B．数列可能是等差数列
C．数列可能是等比数列D．数列可能是等差数列
12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
三、填空题（本大题共4小题）
13．从盛满升酒精的容器里倒出升，然后再用水加满，再倒出升，再用水加满；这样倒了次，则容器中有纯酒精 升.
14．已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为 .
15．若等差数列和等比数列满足，，则 .
16．等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则 ， ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．
18．为数列的前n项和满足：（）.
（1）设，证明是等比数列；
（2）求的值.
19．在等比数列中，
(1)已知，求和；
(2)已知，求和.
20．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
21．已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
22．已知是递增的等差数列，，是方程的根.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
参考答案
1．【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，又等比数列{an}满足，
，且，
，
.
故选.
2．【答案】D
【详解】当时，，
当时，也满足，所以，，解得，
所以，对任意的，，则，
故，
整理可得，因为，解得.
故选D.
3．【答案】C
【详解】由题设可得，由此可得，故应选答案C ．
4．【答案】C
【详解】由可知，所以，
所以，
所以，
是首项为2，公比为4的等比数列，所以其和为.
故选C.
5．【答案】D
【详解】由题意，设该匹马首日路程为，公比，，
，
解得，
所以.
故选D.
6．【答案】A
【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.
【详解】设等差数列的公差，
∵等差数列的首项为1， 成等比数列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6项的和为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】由等比数列性质可知，
所以可得，
又，
故选C.．
8．【答案】C
【解析】由得出数列的递推关系，得其为等比数列，然后由等比数列前项和公式计算可得（注意从第二项开始成等比数列）．
【详解】∵a1＝4，an＋1＝2Sn－4，①
∴a2＝2a1－4＝4，
当n≥2时，an＝2Sn－1－4，②
①－②得an＋1－an＝2an，
∴an＋1＝3an(n≥2)，
∴{an}从第2项起是公比为3的等比数列，
∴S10＝a1＋(a2＋a3＋…＋a10)＝4＋＝2×(39＋1)，
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】∵数列是正项等比数列，，，
由，
当且仅当，即，时等号成立，
即，符合题意的有A，B，D．
故选ABD．
10．【答案】AC
【详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列前4项的和为，
所以，
而数列公比为q，再根据有，，所以或.
故选AC.
11．【答案】BD
【详解】因为，当时，，得，
将代入，得，，
即，
当时，，不是等比数列，是等差数列，，也是等差数列；
当时，是以为首项，2为公比的等比数列，不是等比数列；
故答案为BD.
12．【答案】AD
【详解】解：因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为，
由于，，则且，得，，
由 ，得，，
若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确；
由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确，
因为，所以，所以B不正确，
因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确，
故选AD
13．【答案】
【详解】倒了1次后，剩余纯酒精升，
倒了2次后，剩余纯酒精，
倒了3次后，剩余纯酒精，
∴每次剩下原来的，
∴逐次剩下的酒精量就构成以为首项，以为公比的等比数列，
∴.
14．【答案】-2
【解析】根据等比数列的前n项和，利用，求得，然后再成等差数列求解.
【详解】因为等比数列的前n项和，
当时；；
当时，，
所以①，
.又成等差数列，
所以，即②
.由①②解得，
所以.
15．【答案】
【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，
求得，，那么，故答案为.
16．【答案】 12
【详解】设等差数列的公差为，则由得，即，解得，
则，．
由，，成等比数列得，
即，解得．
17．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.
试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
18．【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：依题意，，，①
②
②-①得，
， ，
即数列是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，则，
两式相减得，
则，
累加得
19．【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1）设等比数列的公比为，
当时，；
当时，，
满足上式，所以，对任意的，
因此，.
（2）设等比数列的公比为，
由，得，
解得或.
当时，；
当时，，
20．【答案】（1）；（2）
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
21．【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
【详解】（1）证明：由得，所以，
所以是等比数列，首项为，公比为3，
所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，
于是≤1+13+⋯+13n−1=，
所以.
【关键点拨】本题考查等比数列的定义，数列通项公式的求解，数列中不等式的证明等基础知识，考查逻辑推理能力，分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.以下几点要引起重视：对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
22．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为是方程的两个根，且使递增的等差数列，
所以，
所以公差，则，
所以；
（2）解：由（1）知，
所以①，
②，
①②得，
所以.