2024-2025学年江西省赣州市大余县高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江西省赣州市大余县高二下册3月月考数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 在等差数列中，已知，则等于
A. 7B. 10C. 13D. 19
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据可得，解得，所以；
考点：等差数列通项公式；
2. 数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用求出通项，再验证是否符合，确定出通项.
【详解】因为数列的前项和
所以当时，
当时，，符合上式，
所以综上
本题考查由求，利用，验证是否符合，属于简单题.
3. 如图，在杨辉三角中，斜线的上方从1按箭头的方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，，记其前项和为，则（ ）
（参考公式）
A. 4927B. 4957C. 4967D. 5127
【正确答案】B
【分析】根据锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，，的规律，当为偶数时，满足，是等差数列，用通项公式求得；当为奇数时，满足，即，用累加法求得，然后用分组求和法求解.
【详解】由锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，，可知：
当为偶数时，，所以是以3为首项，1为公差的等差数列，
所以；
当为奇数时，，即，所以，，…，，
将上述各式两边分别相加可得，
而满足该式，故当为奇数时，，
所以，
．
故选：B
本题主要考查数列的应用，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
4. 已知数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. 10D. 21
【正确答案】B
【分析】由所给表达式，结合累加法可求得的通项公式；进而求得的表达式，因为n取正整数，因而注意不能用基本不等式求最小值，需结合打勾函数，利用最低点附近的n求的最小值．
【详解】因为，所以由递推公式可得

等式两边分别相加，得

因为
所以
即，n∈N*
根据打勾函数图象可知，当n=5时，
当n=6时，
因为
所以的最小值为
所以选B
本题考查了数列累加法求数列的通项公式的应用，基本不等式使用的条件及打勾函数的用法，属于中档题．
5. 设公差为d的等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】
由，直接利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】因，
所以，
所以，
即，
解得，
故选：B.
6. 设等差数列的前项和我，，则下列结论中错误的是
A. B.
C. D. 和均为的最大值
【正确答案】C
【详解】试题分析：，，故，所以，选C.
考点：等差数列的基本性质．
【思路点晴】等差数列的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列. 已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．
7. 数列中，，且，则这个数列的前项的绝对值之和为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由知数列为等差数列，由此可得；根据的正负可确定前项的绝对值之和为，利用等差数列求和公式可求得结果.
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
令，解得：，
.
故选：B.
8. 数列满足，对任意的都有，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先根据，且，得到，再利用累加法求得，进而得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，且，
所以，，
所以，
，
所以，
所以，
，
，
故选：B
方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
二、多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分）
9. 记为等差数列的前项和.已知，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】用等差数列通项公式及前n项和公式，把S4和a5用a1和d表示出来，建立方程组，解出a1和d，即可求得an和Sn，即可选出正确答案．
【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝0，a5＝5，
所以根据等差数列前n项和公式和通项公式得，
解方程组得，，
所以，．
故选：AC．
10. 已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据给定条件结合等差数列性质求出公差d，再逐项分析计算作答.
【详解】在等差数列中，，解得，而，则，B正确；
于是得公差，A正确；
，则，C不正确；，D正确.
故选：ABD
11. 已知数列是等差数列，为数列前n项和，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B. 若，，则使成立的最大的n为4039
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】BC
【分析】利用等差数列前项求和公式与二次函数的性质可得，进而可判断A；
根据选项信息可求得，利用等差数列前项求和公式与一元二次不等式的解法可判断B；
利用等差数列前项求和公式可得，进而求出即可判断C；
根据成等差数列求出，即可判断D.
【详解】A：由，得，则是关于的二次函数，
对称轴为，又数列前10项和或前11项和最大，
所以，解得，故A错误；
B：由，得，即，
整理得，解得或，当时，，不符题意；
所以，由，得，由，
得，所以的最大值为4039，故B正确；
C：，解得，
又，
故C正确；
D：因为成等差数列，即成等差数列，
所以，解得，故D错误.
故选：BC
12. 两位大学毕业生甲､乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则（ ）
A. 第5个月甲月工资低于乙
B. 甲与乙在第11个月时月工资相等
C. 甲､乙前11个月的工资总收入相等
D. 甲比乙前11个月工资总收入要低
【正确答案】ABD
【分析】利用等差数列的前n项和，逐一验证即可出答案.
【详解】本题考查等差数列．设甲各月工资组成数列，乙各月工资组成数列，易知因为，所以选项正确；因为，所以选项正确；因为甲前11个月工资总收入为元，乙前11个月工资总收入为元，所以选项不正确，选项正确．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
【正确答案】
【分析】令，得出的值；令，由求出，再检验是否满足在时的通项公式，综合可得出数列的通项公式.
【详解】数列的前项和为.
当时，；
当时，.
不适合，因此，.
故答案为.
本题考查由求，一般利用公式来求解，同时也要对的值是否满足进行检验，考查运算求解能力，属于中等题.
14. 设等差数列的前n项和为，则= .
【正确答案】16
【详解】由等差数列性质知：也成等差，
所以成等差，即，
因此,故答案为16.
考点：等差数列性质
15. 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______．
【正确答案】11，7
【分析】设等差数列项数为，根据等差数列的求和公式，表示出奇数项和偶数项的和，建立方程，解得n=3，结合等差中项的性质，可得答案．
【详解】设等差数列项数为，
，
，
∴，解得n=3，∴项数2n+1=7，
又因为，所以，所以中间项为11．
故11，7.
16. 已知数列的通项公式为，把中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
……
（）数阵中第行所有项的和为________________；
（）在数阵中第行的第列，则________________．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】（1）写出数阵中第行所有项，求和即可；
（2）分析可得为数列中的第项，再根据数阵中的规律确定、的值，即可求得结果.
【详解】（）第行的个数依次为：、、、、，其和为；
（）令，得 ，故是数列中的第项．
又数阵的前行共有个数，前行共有 个数，
故数列的第 项在第行，即，
又，故是第行的第个数，即．
故．
故（1）；（2）.
四、解答题（共6个小题，共70分）
17. 已知是递增的等差数列，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求和的值.
【正确答案】（1）；（2），．
【分析】（1）求得数列的公差后可得通项公式；
（2）由（1）得出，从而易得．
【详解】（1）设数列公差为，则由得，
数列递增，则，故解得．
；
（2）由（1）得，
，．
18. 设Sn为等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，S3=6．
（1）求公差d的值；
（2）Sn＜3an，求所有满足条件的n的值．
【正确答案】（1）d=1（2）0＜n＜5
【详解】解：（1）∵a1=1，S3=6．∴3×1+d=6，解得d=1．
（2）∵Sn＜3an，∴n+＜3（1+n﹣1），解得0＜n＜5，
∴n=1，2，3，4．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，且
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若bnan﹣30，求数列{bn}的前n项和Tn．
【正确答案】（1）an＝4n﹣2.（2）n2﹣30n.
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由S6＝72可求，由等差数列的性质可求a3+a4，进而可求公差d，从而可求通项
（2）由（1）可知，2n﹣31，利用等差数列的求和公式即可求解
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
∵S672，
∴24，
∴a3+a4＝24，
∵a3＝10，
∴a4＝14，d＝4，
∴an＝a3+4（n﹣3）＝4n﹣2.
（2）∵2n﹣31，
∴Tn＝2（1+2+3+…+n）﹣31n＝n（n+1）﹣31n＝n2﹣30n.
本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题
20. 已知等差数列．
（1）若，求；
（2）若，求．
【正确答案】（1）5；（2）24.
【分析】
（1）由题求出首项和公差即可计算；
（2）由结合求和公式可求出.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
，
，解得，
．
（2），，
．
21. 数列满足，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若求数列的前999项的和.
【正确答案】(1)见解析.
(2)
【分析】（1）作差，将代入，只要差为同一常数即可证明数列是等差数列；
（2）∵=6，由（1）可得，则数列的前999项的和易求.
【详解】（1）证明：(n≥2).
∴数列是等差数列；
（2）∵=6，由（Ⅰ）知
∴数列的前999项和
22. 设等差数列的前项和为，已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.
【正确答案】（1）；（2）最大.
【分析】（1）由，，列方程组得 ，求解即可;
（2）由等差数列前项和公式，得、，又，即数列为递减数列，即可得解.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，则，
由，，可得 ，即 ，，
故公差的取值范围为；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，由上可得，
又，所以数列为递减数列，
故中最大.
本题考查了等差数列基本量的求法及等差数列前项和公式，重点考查了运算能力，属中档题.