河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期4月检测数学试题

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D
D
D
A
A
B
A
D
ABC
ACD
BD
12.12
13.
14.
15．【详解】（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个
因此.
（2）由题意，的可能取值为
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
.
16．【详解】（1）因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点，
故；
又底面，底面，故，
又平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）由已知可知，，且D为的中点，
则，即四边形为平行四边形，
故，由底面，得底面，
因为平面，所以，
以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，
则，即，此方程无解，
假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
17．【详解】（1）由题意知，
因为，所以,
设等差数列的公差为，则，
解得，所以，
所以的值为的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以
．
所以的前项和．
18．【详解】（1）由椭圆方程为，
则离心率，
又，
所以；
（2）由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得，
设，，，
则；
（3）
方法一：由已知可得，即，
平方可得，
又，在椭圆上，
所以，，
所以，
化简可得，
，则，
所以，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，，
则，
又在椭圆上，
则，所以，，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则，
，，
，
则，即，
所以，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.
19．【详解】（1）对求导得.
当时，对有，故在上单调递增；
当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若，由于，故存在正数使得，条件满足；
若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足.
综上，的取值范围是.
（3）设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明.
唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减.
特别地，在上单调递减.
这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证.
存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即.
这就得到，对任意，有.
从而，对任意的，都有；而对任意的，都有.
然后回到原题，首先我们有
.
同时我们又有
，，
故.
由零点存在定理，知一定存在，使得.
综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得.