上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟卷01数学（解析版）

这是一份上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟卷01数学（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】函数，则，解得且．
故答案为：．
2．直线的倾斜角是 ．
【答案】
【解析】因为直线的斜率为：，所以，
所以直线的倾斜角为：．
3．已知为虚数单位，复数，则 ．
【答案】
【解析】．
4．的展开式中的常数项为 （用数字作答）．
【答案】135
【解析】根据二项式的展开式，1，，；令时，解得；故常数项为．
5．在中，，，，的面积为 ．
【答案】
【解析】由正弦定理得，解得，
因为，所以，所以．所以，
所以的面积为．
6．函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】当时，，
当且仅当，即时取等号．
7．已知等差数列的前项和为，，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，所以，
由于，，所以，
且，即，
则，
由得，故，即的取值范围为．
8．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【解析】圆化为，圆心为，半径为1，
的渐近线方程为，
双曲线的渐近线与圆相切，
则，解得：，即，故．
9．设若实数满足：，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】的大致图像如图：
设，则，且，，，
故，当且仅当时，等号成立；
故的取值范围是，．
10．三棱锥中，，，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是 ．
【答案】
【解析】分别以，，为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则：，0，，，1，，设，，，，，0，，，
，，
，
设和所成角为，则，
，
，即时，取最小值；，
即时，取最大值，
和所成角余弦值的取值范围是．
11．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．
【答案】
【解析】在直线上，设，
圆与轴相切，圆为：，，
又圆与圆外切，，解得，
圆的标准方程为．
12．我们称元有序实数组，，，为维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，0，，，2，，记范数为奇数的的个数为，则 （用含的式子表示，
【答案】
【解析】当为偶数时，范数为奇数，
则的个数为奇数，即0的个数为1，3，5，，，
根据乘法原理和加法原理可得，
，
，
两式相减可得；
当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即0的个数为0，2，4，，，
根据乘法原理和加法原理可得，
，
，
两式相减可得．
综上可得：．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．已知，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解析】当时，均不成立，，
则，，
故，故正确；
，，，满足，
但，故错误．
故选：．
14．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交，错误；
对于，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；
对于，平行于同一直线的两个平面可能相交，错误；
对于，若，，则或，错误；
故选：．
15．设，为两个随机事件，以下命题正确的为
A．若，是对立事件，则
B．若，是互斥事件，，则
C．若，且，则，是独立事件
D．若，是独立事件，，则
【答案】C
【解析】对于：若，是对立事件，则，故错误；
对于，若，是互斥事件，，，则，故错误；
对于：若，则，
则，是独立事件，故，也是独立事件，故正确；
对于：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，
，，则，故错误．
故选：．
16．记，分别为函数，的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“真实点”．若函数与有且只有一个“真实点”，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，设是函数与的“真实点”，
则，，
则有，变形可得，
若两个函数有且只有一个“真实点”，即方程有且只有一解，
则有△，解可得，
方程的唯一解，则有，解可得，
故选：．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．已知．
（1）函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；
（2）已知，，求函数，的值域．
解：（1）依题意，，解得，则，由，得，
解得或，即或，
所以的解集为或．
（2）依题意，，
，
当时，，则有，，
所以函数，的值域为．
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，依题意得，0，，，1，，，0，，，1，，，
所以，，则，所以，
由已知，且，，平面，
所以平面；
（2）解：已知，由（1）可知平面，
又平面，所以，
故即为平面与平面的夹角，
设点的坐标为，，，则，
设，则有，，，1，，
即，，，
设，则有，解得，
则点的坐标为，即，
又点的坐标为，所以，
所以，
又为锐角，所以，
即平面与平面的夹角大小为．
19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19．
（1）求的值；
（2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，，，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差．
解：（1），．
（2）初三年级人数为，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为，
（3）初一年级应抽取的学生的人数为，
初二年级应抽取的学生的人数为，
该校所有学生体重的平均数约为，
该校所有学生体重的方差约为
．
20．已知椭圆与抛物线在第一象限交于点，，，分别为的左、右顶点．
（1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；
（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；
（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标．
解：（1）因为椭圆的焦距为2，所以，解得，
则，解得，则椭圆，
因为，在第一象限，，所以，所以，
将点的坐标代入中，解得，
则的准线方程为；
（2）因为点是和的一个共同焦点，
所以，解得，，
则，，此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，，，
由韦达定理得，，
所以，
联立，消去并整理得，
设，，，，
由韦达定理得，，
所以，
若方向相同，此时，
若方向相反，此时，故；
（3）因为，，，三点共线，
所以，解得，
同理，由，，，三点共线，
可得，
此时
，
因为，
所以，
所以，
又，则，
因为，
令，此时，
所以，
其中，
因为，
所以的开口向下，对称轴为，
其中，
故当时，取得最大值，
最大值为，
则的最小值为，
令，解得，负值舍去，
所以，解得，此时，
又，所以，故点的坐标为．
21．设函数在，上有定义，实数，满足．若在区间，上不存在最小值，则称在区间，上具有性质．
（1）若函数，且在区间，上具有性质时，求常数的取值范围；
（2）已知，且当时，，判别在区间，上是否具有性质，并说明理由；
（3）若对于的任意实数和；函数在区间，上具有性质，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．
解：（1）当，时，在，上存在最小值；
当，即时，在，上存在最小值（2）；
当，即时，在，上单调递增，所以不存在最小值，
所以的取值范围为，．
（2）因为时，，
所以在区间，上如果有最小值，则最小值必在区间，上取到；
另一方面，当时，；
当时，，此时在区间，上不存在最小值，
所以在区间，上具有性质．
（3）①首先证明对于任意，．
当时，由，
可知介于和之间．
若，则在区间，上存在最小值，矛盾．
利用归纳法和上面结论可得：对于任意，，当时，．
②其次证明当且时，；当且时，．
任取，设正整数满足，则．
若存在使得，则，即．
由于当时，，所以在区间，有最小值，矛盾．
类似可证，当且时，．
③最后证明：当时，．
当时，（2）（1）成立．当时，由可知，存在使得，
所以．
当时，有：．
若，则，
所以在，上存在最小值，故不具有性质，故不成立．
若，则，，．
假设，则在，上存在最小值，故不具有性质，故假设不成立．
所以当时，对于任意都成都成立．
又，故当、，
所以，即．
所以当时，则存在正整数使得，则，
所以当时，，同理可证得当时，．
所以当时，必然存在正整数，使得，所以；
当时，（2）（1）显然成立，
综上所述：当时，．初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370