上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟卷02数学（解析版）

这是一份上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟卷02数学（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知，，，．若，则 ．
【答案】2
【解析】，，，，，则．
2．若，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以．
3．不等式的解集为 ．
【答案】，
【解析】由可得，，
所以，所以，
即不等式的解集为，，
故答案为：，．
4．圆的半径是 ．
【答案】
【解析】根据题意，圆即圆，
其半径，
故答案为：．
5．已知事件的对立事件为，若（A），则 ．
【答案】0.5
【解析】事件的对立事件为，
若（A），则．
故答案为：0.5．
6．已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，，且，
所以
；
当且仅当，即，时，等号成立
所以的最小值为．
7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
【答案】7
【解析】极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，
，故组数为7组，
故答案为：7．
8．已知，则 （用数字作答）．
【答案】
【解析】令时，解得；
令时，；①，
令时，；②，
故①②得：，
故．
故答案为：．
9．定义符号函数，则方程的解集为 ．
【答案】
【解析】由方程，可得，，，
当时，原式等价于，，；
当时，原式等价于，即，，，
故答案为：，．
10．已知函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，则它在，上是增函数的概率为 ．
【答案】
【解析】函数，其中，3，，，2，，
从中随机抽取1个，基本事件总数，
记事件表示“在，上是增函数”，由已知可知开口一定向上，对称轴为，则，即，
则事件包含的基本事件有：，，，共3个，
所以（A），
故答案为：．
11．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为 ．
【答案】
【解析】设，
由得，，，
则，即，
所以，
若，则或，
检验得，时，得（舍，
当时，或，，
当时，得或，
当，时，此时不存在，
当，时，，，
此时，
故．
故答案为：．
12．已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 ．
【答案】
【解析】设，，，
，不妨设，，，则，
因为，
所以，可得，，
所以，解得，故．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．设函数，则下列函数中为奇函数的是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数，符合题意．
故选：．
14．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下，则
A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差
【答案】C
【解析】甲的数据的平均数为，
乙的数据的平均数为，故选项错误；
甲的数据的中位数为100，乙的数据的中位数为100，故选项错误；
甲的数据的方差为，
乙的数据的方差为，
故甲的数据的方差大于乙的数据的方差，即选项正确；
甲的数据的极差为，
乙的数据的极差为，故选项错误；
故选：．
15．如图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是
A．，且与平行B．，且与平行
C．，且与异面D．，且与异面
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为，
则，
作点在平面内的射影点，连结，，
所以，
所以，故选项，错误；
连结，因为为平面的中心，所以，
又因为，分别为，的中点，所以，
又因为，所以，且，
所以与异面，故选项错误．
故选：．
16．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的
是
A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列
B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列
C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列
D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列
【答案】C
【解析】如果数列成等差数列，设公差为，
由，，成等差数列，可得，
即，
化为，
由，，
只有，才有，但，
此时，，不为等比数列，故错误；
如果数列成等比数列，设公比为，
由，，成等差数列，可得，
若，则，可得，不成立；
所以不为1，则．
化为，即，解得，
因为，
所以，
可得，，为等差数列，故正确；
若不成等差数列，无法判断，，不成等比数列，故错误；
若不成等比数列，无法判断，，不成等差数列，故错误．
故选：．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．如图，在三棱锥中，平面，，，，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，0，，，，，，0，，的重心，，，
设，，，则，，，
平面，，，，，，，，，
平面，且，，，，0，，
，又由，
得，
解得，；
（1），1，，，，，，，，
，，
直线与平面所成角的正弦值为；
（2），1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，，，
点到的距离．
18．在中，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值及的面积．
解：（Ⅰ）在中，，
由余弦定理，可得，
整理可得，
解得或（舍去）；
（Ⅱ）由题意可得，
由正弦定理，可得，
所以的面积．
19．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，现菌落覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系有两个函数模型与可供选择．（参考数据：，，，，，．
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（计算结果保留到整数）
解：（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
根据题意应选，
于是，解得：，，
（2）根据函数模型，可得不等式，解得，
故至少经过 培养基中菌落面积能超过．
20．椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的横坐标为，当时，求面积的最大值．
解：（1）设，由，知，即，
由，知，即，
则，故椭圆的标准方程为；
（2）直线的方程为 与 联立，
可得，且△，有，即，
直线的方程为，令，可得，
，，
即，，
而，当，即 时取等号，且，
故面积的最大值为．
21．设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为．
（1）若，，试问是否为的“控制函数”；
（2）若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值；
（3）若曲线在处的切线过点，且，，求证：当且仅当或时，（c）（c）．
（1）解：，设，
，当，时，易知，即单调减，
，即，
是的“控制函数“；
（2）解：，
，
，即为函数的“控制函数“，
又，且，；
（3）证明：，，
在处的切线为，
，，（1）（1），
，
，
，
，
恒成立，
函数必是函数的“控制函数“，
是函数的“控制函数“，
此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，
在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，
所以曲线在处的切线过点，且，，
当且仅当或时，．