上海市2025年1月普通高校春季招生统一文化考试数学试卷(含答案)

这是一份上海市2025年1月普通高校春季招生统一文化考试数学试卷(含答案)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是( ).
A.AB和B.和C.和D.和AB
2．幂函数在上是严格减函数，且经过，则a的值可能是( ).
A.B.C.D.3
3．有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为( ).
A.B.C.D.
4．已知，不等式在中的整数解有m个.关于m的个数，以下不可能的是( ).
A.0B.338C.674D.1012
二、填空题
5．已知集合，，则__________.
6．不等式的解集为__________.
7．已知复数，其中i为虚数单位，则__________.
8．已知，，若，则__________.
9．已知，则__________.
10．已知的展开式中常数项是20，则__________.
11．已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列.若数列的前三项和为2，则__________.
12．关于x的方程的解集为__________.
13．已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，，该圆锥的底面半径是1.B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为__________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为、.通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得.若的面积为，则a的值为__________.
15．如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线PQ为以AD为对称轴的抛物线的一部分，.工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQRR，当其面积有最大值时，AQ的长为__________.
16．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________.
三、解答题
17．在三棱锥中，平面平面，，.
（1）若O是棱AC的中点，证明：平面PAC，并求三棱锥的体积；
（2）求二面角的大小.
18．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
（1）若，，求a；
（2）若，求的面积的最大值.
19．甲、乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边.
（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
20．在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，.
（1）求所在椭圆的离心率；
（2）若，Q在y轴上，若T到直线PQ的距离为，求P的坐标；
（3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知函数的定义域是D.对于，定义集合.
（1），求：
（2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集.若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
（3）若，.求m的取值范围，使得对于任意，都有.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：B
解析：由幂函数经过，可得，则a为奇数，又由幂函数在上是严格减函数，可得，综上可得：，故选：B.
3．答案：B
解析：记AB、BC、CD、DA四边未被擦去分别为事件，，，，则，，，相互独立，且，记“以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点”为事件B，则，所以，故选B.
4．答案：D
解析：
5．答案：
解析：集合，，
.
综上所述，答案是：.
6．答案：
解析：由题意得不等式即，，即不等式的解集为.
7．答案：
解析：因为复数，所以.
8．答案：
解析：，，，，.
9．答案：0
解析：由，得，即，所以，，即，，所以.
10．答案：1
解析：
11．答案：
解析：由题意知，，所以，所以，解得或，因为，所以.
12．答案：
解析：当时，原方程可化为，解得，当时，原方程可化为，恒成立，当时，原方程可化为，解得，综上所述，方程的解集为，故答案为：.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：4
解析：
17．答案：（1）证明略，体积
（2）（或）
解析：
18．答案：（1）
（2）
解析：
19．答案：（1）甲组组员身高的第60百分位数为173，乙组组员身高的第60百分位数166.5
（2）
（3）存在，将甲组一个身高167cm的组员调派至乙组
解析：（1）可得甲组身高从小到大排列为164，165，165，167，167，172，172，173，174，175，178，183，
可得乙组身高从小到大排列为159，160，163，165，165，166，167，168，168，172，可知甲组有12人，乙组有10人，
可得，，
所以甲组组员身高的第60百分位数为173，
乙组组员身高的第60百分位数为，
（2）设事件A为从甲组选取一个组员身高在170厘米以上，事件B为从乙组选取一个组员身高在170厘米以上，
可得，，
所以从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率为
，
（3）可得甲组身高的平均数为
（厘米），
假设存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大，
所以甲组调派到乙组的组员身高要小于甲组的平均身高，大于乙组的平均身高，
可知甲组中身高167厘米满足该条件，
所以存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大.
20．答案：（1）
（2）
（3）存在，
解析：
21．答案：（1）
（2）略
（3）
解析：