上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟卷03数学（解析版）

这是一份上海市2025年普通高校春季招生统一文化考试仿真模拟卷03数学（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，，，，，，若，则实数 ．
【答案】2
【解析】集合，，，，，，，
则，解得或，
当时，，，，，，，不符合题意，
当时，，1，，，1，，符合题意，
故．
故答案为：2．
2．若向量，，则 ．
【答案】
【解析】向量，，
所以，，．
故答案为：．
3．不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】不等式化为，可得，所以不等式的解集为．
故答案为：．
4．圆的半径大小为 ．
【答案】2
【解析】圆化为标准方程为，
圆的半径为2．
5．已知，且，则 ．
【答案】
【解析】，且，
，，
．
6．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】40
【解析】的展开式通项公式为，
令，解得，
故的系数为．
7．在中，已知，则其外接圆的直径为 ．
【答案】4
【解析】设外接圆半径为，由正弦定理可得：，
所以，
所以外接圆直径为4．
8．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数之和为5，则这样的偶数共有 个．
【答案】72
【解析】根据题意，要求千位和百位上的数之和为5，分2种情况讨论：
①四位数的千位和百位数字为1和4时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能，
此时，可以有个符合题意的四位偶数；
①四位数的千位和百位数字为2和3时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能，
此时，可以有个符合题意的四位偶数；
故共有个符合题意的四位偶数；
故答案为：72．
9．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，
当时，，
当时，在，有最大值4，
画出函数的图象，如下图，
由图可知，．
10．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】如图：因为，，所以，所以向量在方向上的投影为，且，易知．
如图建立平面直角坐标系，则，，，．
因为在线段上，故设，，，
所以，，所以，，．
令，，，该函数为增函数，所以．
所以的范围为，．
故答案为：，．
11．双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设直线与直线相交于点，则，
直线的斜率为，即，
又，，，
过作于点，则，
为的中点，，，
在中，由，知，，
由双曲线的定义知，，
，化简得，．
可得．
12．已知函数为定义域为R的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 ．
【答案】2
【解析】函数为定义域为R的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，是周期为4的周期函数，图像如图：
将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，
则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．下列四个函数中，不具有奇偶性的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数，是定义域R上的偶函数；
对于B，函数，是非奇非偶的函数，不具有奇偶性；
对于C，函数，是定义域R上的奇函数；
对于D，函数，是定义域R上的奇函数，也是偶函数．
故选：B．
14．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是
A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍
C．2016年与2019年艺体达线人数相同
D．与2016年相比，2019年不达线的人数有所增加
【答案】D
【解析】设2016年参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为．
对于选项年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项年二本达线人数为，2019年二本达线人数为，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；
对于选项年和2019年艺体达线率没变，但是人数是不同的，故选项C错误；
对于选项年不上线人数为，2019年不上线人数为，不达线人数有所增加，故选项正确．
故选：．
15．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于，当是的中点时，与是相交直线；
对于，根据异面直线的定义知，与是异面直线；
对于，当点与重合时，与是平行直线；
对于，当点与重合时，与是相交直线．
故选：．
16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是
A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列
B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列
C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列
D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列
【答案】C
【解析】由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，
因为若，当，，，必有使得，矛盾；若，，则，矛盾；
若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾；
若，当，，必有使得，矛盾；
所以选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
由排除法可得正确．
故选：．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成的角．
解：（1）作于，
平面，平面，，，
，平面，
平面，，
，，平面，为到平面的距离，
根据二面角的定义知，
则，，，
解得，
点到平面的距离为；
（2）作于，连接，，，
，，，平面，
平面，，
，，平面，为与平面所成的角，
中，，，得，．
直线与平面所成的角为．
18．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
（1）证明：由及正弦定理得：，
整理得，
因为，，所以，
所以或，所以或（舍，
所以；
（2）解：由及余弦定理得：，
整理得，
又因为，可解得，，
则，所以是直角三角形，
所以的面积为．
19．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．
（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润（万元）关于的函数关系式．
（2）若年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
解：（1）由题意得：上年度的利润为万元；
本年度每辆车的投入成本为；
本年度每辆车的出厂价为；
本年度年销售量为，
因此本年度的利润为
，
故本年度的年利润（万元）关于的函数关系式为；
（2）本年度的利润为，
则，
由，解得或（舍去），
当时，，是增函数；当，时，，是减函数，
当时，取极大值万元，
因为在上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
20．已知椭圆且．
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；
（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
解：（1）若，则，，，，；
（2）由已知得，，设，
，即，
，，
，，，
，代入求得；
（3）设直线，联立椭圆可得，
整理得，
由△，，
联立双曲线可得，整理得，
由△，，，，
又，，，
综上所述：，．
21．已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求函数的值域，并求满足的实数的取值范围；
（3）设，，若对于任意的、、，，都有，求实数的取值范围．
解：（1）由表示不小于的最小整数，，得，
所以实数的取值范围是，．
（2）函数定义域为，，
而函数在，上单调递增，值域为，，
因此，所以，
所以函数的值域为，；
显然，，，
由，得，
所以，而时，不等式不成立，
则，必有，所以，
所以，，解得，
所以实数的取值范围．
（3）当，时，，
函数在，上单调递减，在，是单调递增，
因此函数在，上单调递增，在，是单调递减，
所以（3），而，
所以在，上的值域为，，，，，，
依题意，，，，即，，，
当，时，，显然当时，，则，，
当，时，，而恒成立，则，，
所以实数的取值范围，．