备战2025年中考数学真题汇编特训(江苏专用)专题13图形的相似(原卷版+解析)

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►考向一 相似三角形的性质
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
►考向二 相似三角形的判定
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以AB为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
3．在矩形中，点E，F分别在边AD，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为CD的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为CD，的中点时，探究与AB的数量关系，并说明理由．
►考向三 相似三角形的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
3．小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
1．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（2024·江苏无锡·一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．（①直线②曲线，填序号）
5．（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知与中，，，，将绕着点旋转，连接、、，分别取，，的中点，，，连接，在旋转一周的过程中，面积的最大值是 ．
7．（2024·江苏常州·二模）如图，为的直径，C为上一点，平分，与过点A的的切线交于点D，与交于点F，与交于点E．记的面积为，的面积为，若，则 ．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先以点A为位似中心放大或缩小，使得放大或缩小的图形与原图形的线段比为k，再沿多边形一条边a平移x个单位长度，称这种变换为自位似平移变换，记作例：如图1，，以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为，在沿着平移3个单位长度得到最终图形，记作；或沿着平移4个单位长度得到最终图形，记作．
(1)如图1，求证．
(2)如图2，当为直角三角形时，经过变换后得到，经过变换后得到，求证：四边形为菱形．
(3)如图3，为等腰直角三角形，，分别经过变换得到，J、L、N、R分别为的内心，O、P、Q分别为的中点，①求证：四边形为正方形；②求证：Z、W分别为的中点；③若，则__________．
(4)如图3，是否有可能使？如果能，请写出初始图形以及变换过程，如果不能，请说明理由．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线AB为一边，作角．作法：在射线AB上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，CA为半径作弧，交CD于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图．
【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线AB为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法）
【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段AB上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）．
10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点；
(1)仅用直尺作出图一的中点；
(2)仅用直尺作出图二的中点．
11．（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题
如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题：
（1）若，则 （结果保留根号）；
（2） （填“”、“ ”或“” ．
【初步探究】
（3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由．
【深入探究】
（4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
12．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C．
(1)若点C与点B重合，求k的值．
(2)若，在图中只用直尺作出点C．
(3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式．
13．（2024·江苏南京·模拟预测）我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点．
（1）下面是某数学小组思考如何证明该命题的部分过程，填写其中的空格：
我们把三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心．
（2）点H是的垂心，
①若，，则的度数是______°；
②若，，求的周长．
（3）如图②，M是内部一点，且，均垂直于，垂足分别为D，E，点H在上，且．求证：点H是的垂心．
14．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，．
操作发现：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ．
猜想论证：
当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由．
类比探究：
如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值．
拓展提升：
如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ．
15．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
如图，正方形的边长为4，将绕点B逆时针旋转，旋转角等于α（），连接，，，过点A作，垂足为点G，连接．
【知识回顾】
（1）①________（用α的代数式表示）
②求的度数；=_________；
【性质探索】
（2）当时，求证：点G是的外心 ；
（3）在旋转过程中，的值是否发生变化，若不发生变化，求出这个比值；若发生变化，说明理由．
【拓展延伸】
（4）①四边形面积的最大值．
②=________．
16．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……．
【模型认识】
（1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）与满足的数量关系为______；
【初步理解】
（2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：．
【问题解决】
（3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
课标要求
考点
考向
了解比例线段的有关概念及其性质，通过实例了解黄金分割，并会用比例的性质解决简单的问题；
了解相似多边形、相似三角形的概念，掌握其性质和判定，并会运用；
了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；能利用图形的相似解决一些实际问题；通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的含义；
了解位似变换和位似图形的概念，掌握其性质。
图形的相似
考向一 相似三角形的性质
考向二 相似三角形的判定
考向三 相似三角形的应用
考点 图形的相似
分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明______，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点．
思路：当时，如图①．
分别取的中点O，P，
易证，
所以点E在的外接圆O上．
同理，点E在的外接圆P上．
连接，
可得______
______
____________
．
……．