备战2025年中考数学真题汇编特训(江苏专用)专题06不等式与不等式组(原卷版+解析)

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►考向一 不等式的性质
1．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
►考向二 解一元一次不等式
1．关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
►考向三 一元一次不等式的应用
1．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
2．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
3．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ．
►考向一 解一元一次不等式组
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
3．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
►考向二 方程组、分式方程与不等式结合应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
1．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B．C．D．
3．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A．B．6C．D．3
5．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ．
6．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点．
(1) （填“”或“”）；
当时，求的值；
(2)若点和点也在二次函数图象上，且，．
求的取值范围；
若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围．
7．（2024·江苏南京·二模）某平台提供同城配送服务，每单费用=基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；重量附加费y（元）与物品重量之间的函数关系如图中折线所示．
(1)当物品重量为, 配送路程为时，则配送的费用为_____元；
(2)当时，求y 与x 的函数表达式；
(3)某客户需将重量为的物品送到相距处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过, 现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为______元．
8．（2024·江苏泰州·一模）学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
(1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
(2)求m的取值范围；
(3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
9．（2024·江苏南京·三模）甲、乙两人分别骑自行车和电动车同时从A地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速骑往B地，甲到达B地后，立即以原来速度的1.5倍沿原路返回，直至到达A地，乙到达B地后立即停止．甲的速度为．设出发小时后，甲、乙两人离B地的距离分别为．图中线段表示与的函数关系．
(1)乙的速度为_______；
(2)直接写出的函数关系式并画出的函数图象（标上必要的数据）；
(3)若乙到达B地休息后返程，比甲提前回到A地，则乙返程速度（单位：）的取值范围是_______．
10．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
11．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
12．（2024·江苏盐城·二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”．
(1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ；
(2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）；
(3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数
的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4．
①求的值；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
(4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围．
13．（2024·江苏泰州·二模）
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
15．（2024·江苏泰州·二模）为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．未进入决赛的学生可以通过复活赛进入决赛，在复活赛中每人要进行5次测试，5次测试成绩的平均数高于直接进入决赛的10名学生中一半学生的成绩，则有可能进入决赛；（注：所有测试成绩数值取整数，单位为厘米）直接进入决赛的10名学生的立定跳远成绩及其平均数、中位数、众数如下表：
(1)填空： ， ．
(2)若甲学生复活赛前4次测试成绩为236，238，240，237，要想有可能进入决赛，第5次测试成绩至少为 ；
(3)已知A、B两名学生的5次复活赛测试成绩及相关统计数据如下表：
现仅剩下一个进入决赛名额，组委会最终选择了B学生进入决赛，你认为组委会做出决定的依据可能是什么？请阐明理由．
16．（2024·江苏苏州·一模）一个高为的圆柱形玻璃杯中存有一定量的水，将大小相同的棋子轻轻投入该玻璃杯中，玻璃杯中水面的高度会随着投入的棋子数（枚）的变化而变化．根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)求与的函数表达式；
(2)要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入多少枚棋子？
17．（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．

(1)求a的值．
(2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
(3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
课标要求
考点
考向
结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；
能运用不等式的基本性质对不等式进行变形；
能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；
能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，建立模型观念。
不等式
考向一 不等式的性质
考向二 解一元一次不等式
考向三 一元一次不等式的应用
不等式组
考向一 解一元一次不等式组
考向二 方程组、分式方程与不等式结合应用
考点一 不等式
考点二 不等式组
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
A型劳动用品（件）
B型劳动用品（件）
合计金额（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800
执行标准
GB17761-2018
最高车速
电池电压
不超过48V
能否载人
可载一名16周岁以下未成年人
车辆属性
非机动车
是否需要驾驶证
不需要
素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于．
素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形：
第1步：画，，；
第2步：在边上取一异于B，C的点D，；
第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点；
第4步：连结、．

活动一：素材反思
思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？
任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由；
思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？
任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；

活动二：图形应用
如图，四边形为F−四边形，，，且．
任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．

成绩
平均数
中位数
众数
244，243，241，240，240，238，238，238，237，236
239.5
m
n
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
平均数
中位数
众数
方差
最好成绩
A
237
239
240
244
235
239
239
9.2
244
B
237
242
237
239
240
239
239
237
3.6
242
（枚）
3
12
12
15