专题07 不等式与不等式组（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题（山东专用） 含答案

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►考向一 求不等式组的解集
1.（2024•青岛）解不等式组：；
【答案】；
【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可；
本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为；
2.（2024•日照）解不等式组
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可；
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集．
►考向二 不等式组的整数解
1.（2024•淄博）解不等式组：并求所有整数解的和．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集，
∴不等式组所有整数解的和为．
2.（2024•济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
整数解为0，1，2，3
►考向三 已知不等式的解求参数
1.（2024•烟台） 关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：不等式移项合并同类项得，，
系数化为得，，
∵不等式有正数解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案为：．
一、单选题
1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解不等式等，根据图象求出的取值范围是解题的关键．
先分析出当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，由此求出的取值范围，再根据不等式的性质即可得出结果．
【详解】解：当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，
故令，
整理得，，
令，
解得，
当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，
故令，
整理得，，
令，
解得，
，
，
，
．
故选：A．
2．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．如果，那么是直角三角形
B．若分式方程有增根，则
C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是
D．若，则
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A，把分式方程的增根代入去分母后的方程可判定B，根据不等式的性质可判定C，把条件化为，，再代入计算可判定D，从而可得答案
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
若关于x的方程有增根，
∴增根为
方程去分母得：，代入，解得，故B不符合题意；
∵关于x的不等式的解集是，
∴，
∴；故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，分式方程的增根问题，不等式的性质，条件分式的求值，掌握相关的基础知识是解本题的关键.
3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵在平面直角坐标系的第一象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：

故选：D．
二、填空题
4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，由不等式组无解可知两个不等式的解集无公共部分，即可得，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
三、解答题
5．（2024·山东临沂·模拟预测）春节期间，乐乐一家去琅琊古城游玩．若买张单人门票，张普通通票花费元，若买张单人门票，张普通通票花费元．
(1)单人门票和普通通票各多少元？
(2)乐乐一家门票花费预算不超过元，若贵宾通票比普通通票贵元，那么至多能买几张贵宾通票？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式，弄懂题意，找出等量关系是解题的关键．
（1）设单人门票票价为，普通通票票价为，依据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设买张贵宾通票，则普通通票需要买张，依据题意列出一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设单人门票票价为，普通通票票价为，
依据题意列出二元一次方程组如下：
，
由，得：，
去括号，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
将代入，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
答：单人门票票价为元，普通通票票价为元；
（2）解：贵宾通票票价为（元），
设买张贵宾通票，则普通通票需要买张，
依据题意列出一元一次不等式如下：
，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
答：至多能买张贵宾通票．
6．（2024·山东青岛·模拟预测）计算和解不等式：
【答案】无解
【分析】分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可解答．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组无解．
7．（2024·山东菏泽·三模）解答下列各题
求不等式组 的解集．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
8．（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）根据条件，计算求值化简：
关于的不等式组恰好只有四个整数解，求的取值范围；
【答案】；
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围；
【详解】
解：解不等式组得，则，
∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，
∴四个整数解为4、3、2、1，
∴，即；
9．（23-24七年级下·山东济南·期末）阅读下面材料：
设x是实数，我们用表示不小于x的最小整数，如，，，．
(1)比较大小：______x，______；（用“>”或“