安徽省合肥市新站高新技术产业开发区2025年九年级中考一模数学试题（解析版）

这是一份安徽省合肥市新站高新技术产业开发区2025年九年级中考一模数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数为（ ）
A. B. 2025C. D.
【答案】D
【解析】的倒数为是，
故选：D．
2. 十四届全国人大三次会议3月5日上午9时在人民大会堂开幕，李强总理作政府工作报告，报告中提到：过去一年，国内生产总值达到万亿元、增长，增速居世界主要经济体前列，对全球经济增长的贡献率保持在左右，其中万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】万亿．
故选：D．
3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得，其主视图为：
故选：A．
4. 下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误；
故选：C．
5. 如图，中，弦的长为，点在上，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，设和交于点D，
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴阴影部分的面积．
故选：D．
6. 二次函数与一次函数的图象交点不可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】当时，二次函数图象在第一象限和第二象限，一次函数的图象在第一，三，四象限，
∴二次函数与一次函数的图象交点不可能在第二，四象限；
当时，二次函数图象在第三象限和第四象限，一次函数的图象在第二，三，四象限，
∴二次函数与一次函数的图象交点不可能在第一，二象限；
综上所述，二次函数与一次函数的图象交点不可能在第二象限．
故选：B．
7. 已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，
，
，
，
，
，
即，
故A正确，不符合题意；
B. ，
，
，
即，
故B正确，不符合题意；
C. ，
，
，
，
，
，
即，
故C错误，符合题意；
D. ，
，
，
，
，
，
即，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
8. 点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，连接，交于点O
∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴是的中位线
∴，
∴
∴
∴
∴设，则
∴
∴
∴
∴．
故选：A．
9. 在矩形中，，，，分别在边，，，上（不与顶点重合），顺次连接得到四边形．对于任意矩形，下面结论一定正确的有（ ）个
①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③存在无数个四边形是菱形；④至少存在一个四边形是正方形
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，交于，
过点直线和，分别交，，，于，，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
同理可证，
四边形是平行四边形，
直线和存在无数条，
存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；
当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形，故②正确；
存在无数条直线和，使得，故存在无数个四边形是菱形；故③正确；
④当四边形是正方形时，，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
四边形是正方形，当四边形为正方形时，四边形是正方形，
即至少存在一个四边形是正方形，故④正确；
故选：D．
10. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】∵抛物线，可得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：，
令，则 ，
∴点的坐标为；
连接，
设点的横坐标为，
，

，
如图，过点作于，
，，，
满足，
，
又，，
，
，
，
，
．
∴当时，存在最大值．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若有意义，则实数的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】根据题意可知，
解得：．
故答案为：．
12. 已知关于的一元二次方程，有两个相等的实数根，则的值是____．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得，
故答案为：．
13. 将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的概率是_______．
【答案】
【解析】设白色和黑色分别为和，
则共有，，，，，，，，共种等可能的结果数，其中相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的结果数有，，共种，
所求概率是，
故答案为：．
14. 如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点．
（1）________；
（2）点的横坐标为________________．
【答案】（1），（2）
【解析】（1），
，
在中，，
，
，
点是的中点，
，即，
，
（2）点关于的对称点为点，，
，
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
由（1）可得反比例函数的解析式为，
联立，
解得（负值已舍去），
点的横坐标为；
故答案为：；．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式．
解：，
，
，
，
，
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，已知点、、、均为格点．
（1）以点为位似中心，在方格图中将放大2倍，得到，，（点，，，分别为点，，的对应点）；
（2）的面积为_________；
（3）在中，用无刻直尺，作边上的中线．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）的面积为；
（3）如图所示，中线即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸盒、横式纸盆各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？

解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
根据题意得：，
解得．
答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用．
18. 宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作，
例如．
第1组：数字1，2，0，则；
第2组：数字1，9，8，则；
第3组：数字7，9，2，则；
第4组：数字6，9，3，则_________________．
（1）根据规律，补充第4组横线的内容；
（2）小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________；
（3）小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下：
设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除．
解：（1）根据题意得，
第4组：数字6，9，3，则；
（2）第5组：数字5，9，4，则；
第6组：数字5，9，4，则；
∴最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是495；
（3）设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，
最大数可表示为，最小数可表示为，
∴
∴所以最大数和最小数差能被99除．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，．
解：如图所示，过点A作于点E，
∵入射角，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
20. 已知，如图，为的直径，点在上，与经过点的切线垂直，交于点，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）连接，若，，求线段的长．
（1）证明：如图，连接，交于点G
是的切线，，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：设
∴
∵
∴
∴，
∴，即
∵为的直径，
∴
又∵
∴
∴，即
解得或（舍去）
∴．
21. 【项目背景】
从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲，乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计，为软件的使用选择提供参考．
【数据收集与整理】数学兴趣小组从该校甲、乙两款软件体验者中各随机抽取20名，记录体验者对两款软件的评分，对数据整理描述如下：
a．信息处理速度（满分10分）
b．信息识别准确度（满分10分）
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
【数据分析与应用】根据所给信息，完成以下任务．
（1）[任务1]表格中__________；___________；
（2）[任务2]综合表中的统计量，下列结论正确的是___________；（填正确结论的序号）
①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多；
②两款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差相等；
③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款软件的得分更稳定
（3）[任务3]若该校共有350名甲款软件的体验者，请估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于7分人数．
解：（1）甲两款软件的信息处理速度的平均数（分），
乙两款软件的信息处理速度分数从小到大排列第10个和第11个分别为7分和8分，
∴中位数（分）；
（2）①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，正确；
②甲款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为，
乙款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为，
∴两款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差不相等，故原说法错误；
③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款软件的得分更稳定，正确；
综上所述，结论正确的是①③；
（3）估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于7分人数为（人）．
22. 如图1，已知抛物线与轴交于点，且图象经过点，抛物线与直线在第一象限交于点，；
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点为上方抛物线上的动点，求到直线距离的最大值；
（3）若点在轴上方的抛物线上，满足，请在图3用尺规作图，作出满足条件点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点的坐标．
解：（1）将代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）过点作轴垂线，交于点，交轴于点，再过点作垂线，交于点，如图所示：
由（1）可设点坐标为，
∵的解析式为，轴，
∴点坐标为，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，
∴到直线距离的最大值为．
（3）过点作轴垂线，交于点，交轴于点，再过点作垂线，交于点，在轴上方的抛物线上取点，令其满足，过点作轴垂线，交轴于点，连接，如图所示：

∵，的解析式为，轴，
∴点坐标为，点坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴,
∴，
即
设点坐标为，
∵
∴，
∵
∴，
即，
解得，
∴
∴点坐标为．
先作的角平分线，可得
∴，
再作的角平分线，可得，
即，如图所示：
23. 如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，点是对角线、的交点，连接，交于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2．连接，，；
①若，求证：；
②若，，求线段的长．
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）①证明：∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵O为中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，，，
∴
由①知，
∴，即，
解得
统计量
类别
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7
9
5.6
4.84
乙
7.65
7
5.6
5.64