四川省绵阳市涪城区2025年九年级中考第二次诊断数学试卷（解析版）

这是一份四川省绵阳市涪城区2025年九年级中考第二次诊断数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列各数中，最小数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
∵，∴最小的数是，
故选：A．
2. 正方形的对称轴有（ ）
A. 2条B. 3条C. 4条D. 8条
【答案】C
【解析】根据轴对称图形的概念可知，正方形的对称轴一共有4条．
故选：C．
3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A. 光年B. 光年
C. 光年D. 光年
【答案】C
【解析】50亿光年光年；
故选C．
4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．，符合题意；
C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．，不符合题意，
故选B
5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
根据题意得点D是的中点，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在中，．
故选：D．
6. 如图，一轰炸机自东向西飞行，在高空A处测得地面指挥台C的俯角，飞行到达B处，测得指挥台C的俯角，则该轰炸机的飞行高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过点C作交的延长线于点D，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7. 当时，二次根式一定有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，得，即．
∵，∴．
∵二次根式一定有意义，∴．
故选：C．
8. 《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（ ）
A. 2.5尺B. 5.5尺C. 6.5尺D. 11尺
【答案】C
【解析】设绳长为x尺，长木长y尺，
根据题意，得，解得，
所以长木长为6.5尺．
故选：C．
9. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
10. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，
设拱门所在圆的半径为，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，
∴拱门所在圆的半径为；
故选B
11. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，∴，
即，
解得：或，
当时，如图所示，

依题意，当时，，解得：，
当时，，解得，即，
当时，
当时，，解得：，
∴，

综上所述，或，
故选：B．
12. 如图，E，F分别是平行四边形的边的中点，交于点G，连接，过点D作交于点H，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长，它们交于点M，延长，交于点M，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
设，则,
∵，，，
，，
，，，
，
，，，
故选；B．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】原式．
故答案为：．
14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内．若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为_______．
【答案】
【解析】如图所示，过点D作，交x轴于点E，过点C作，交y轴于点F，
根据题意，可知，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，∴点．
15. 化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为_______．
【答案】1
【解析】根据题意，得，解得，
∴是三次二项式，
所以．
16. 炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元．
【答案】780
【解析】设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得，，
解得，且．
∵，
∴函数值y随着x的增大而减小，
即当时，（元）．
所以该超市每天获得的最大利润是780元．
故答案为：780．
17. 不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】解不等式得，；
解不等式得，，
所以不等式组的解集为：，
则此不等式组的整数解为0，1．
又因为此不等式组的整数解均满足不等式组，
所以，解得．
18. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小，
∵菱形中，，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形，
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°，
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°，∴PH=，
∴此时得到最小值，，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7，
又∠MPC=60°，∴MH=MCsin60°=.
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
解：（1）
．
（2）．
将，代入可得，
原式．
20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
解：（1）本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
（2）最喜欢篮球项目的学生有人，
∴最喜欢羽毛球项目学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若，求点M的坐标．
解：（1）设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，解得，
经检验，是方程的解，，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）当时，可得，解得，
，，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
22. 某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
（1）试写出y与x函数关系式；
（2）商场有哪几种进货方案可供选择？
（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？
解：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，
由题意，得y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000．
（2）依题意，得，解得10≤x≤．
∵x为整数，∴x=10，11，12．∴商场有三种方案可供选择：
方案1：购空调10台，购彩电20台；
方案2：购空调11台，购彩电19台；
方案3：购空调12台，购彩电18台．
（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，∴y随x的增大而增大．
∴当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．
故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．
23. 如图，是以为直径的的切线，点在上方的圆弧上，，垂直平分，分别交，于点，．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，求的半径．
（1）证明：∵垂直平分，
∴，，．
∵，∴．
在和中，
∴，
∴，即四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：如图，连接．
设．由（1）得．
∵是的切线，∴．
在中，，即．
∵，∴．
在中，，即．
∵为的直径，∴．
在中，，即，
整理得，
解得或（舍去）．
∴，∴．
∴的半径为．
24. 如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点．
（1）当与相似时，求的值．
（2）记的面积为，求关于的函数解析式．
（3）如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）要使与相似，还需．
∴当点运动到时，．此时，
∴，∴，
∴．
（2）如图1，当点在上运动，即时，
由可得，∴，
∴（当时也符合此式）．
如图2，当点在上运动，即时，．
此时，由可得，
∴．
∴．
又，
∴（当时也符合此式）．
∴
（3）存在．
当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3．
由对称性可知：，．
在和中，
∴，
∴，即是的中点，
∴此时点与点重合，．
由得，
∴．
当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻．
综上所述，．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标．
解：（1）在平面直角坐标系中，和均为直角三角形．
∵，∴．
∵，∴，∴，
∴，即．
∵，，∴，，∴，
∴，即．
设抛物线的函数解析式为，
将代入，得，∴．
∴抛物线的函数解析式为，即．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且点的纵坐标为，
∴．
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为．
联立，解得 ，，
∴，
如图1，过点E作平行于y轴的直线交于点H．

设直线的函数解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为．
令，得，∴，∴．
∴．
（3）①如图2，作交抛物线于点K，则．

∵直线的函数解析式为，
∴设直线的函数解析式为，
将代入，得，解得．
∴直线的函数解析式为．
联立，
解得，（舍去）．
∴点的坐标为．
②如图3，作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时．

∵点M在直线上，∴设．
，，
∴，．
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴，
解得：，∴．
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为．
联立，解得，（舍去）．
∴点的坐标为．
综上所述，满足条件的点K有两个，即，．空调
彩电
进价（元/台）
5400
3500
售价（元/台）
6100
3900