四川省绵阳市涪城区九年级2025届中考 数学第二次诊断试卷

这是一份四川省绵阳市涪城区九年级2025届中考 数学第二次诊断试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.下列各数中，最小的数是（ ）
A.-2B.-（-2）C.D.-
2.正方形的对称轴有（ ）
A.2条B.3条C.4条D.8条
3.从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.“50亿光年”用科学记数法表示为（ ）
A.50×108光年B.5×108光年C.5×109光年D.5×1010光年
4.下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边AC的中点，BC与DF交于点G.如果，那么的度数为（ ）
A.50°B.55°C.65°D.70°
6.如图，一轰炸机自东向西飞行，在高空A处测得地面指挥台C的俯角，飞行10km到达B处，测得指挥台C的俯角，则该轰炸机的飞行高度为（ ）
A.5kmB.C.10kmD.
7.当时，二次根式一定有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何?”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（ ）
A.2.5尺B.5.5尺C.6.5尺D.11尺
9.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A.5mB.70mC.5m或70mD.10m
10.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
11.抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.或
C.D.或
12.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，AB的中点，CE交DF于点G，连接BG，过点D作交EC于点H，则的值为（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.
13.因式分解：_______.
14.如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内.若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为_______.
15.化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为_______.
16.炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一.某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克.根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍.若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元.
17.不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是_______.
18；如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且，P为线段BD上的一个动点，则的最小值是_______.
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，.
20.（本题满分12分）
为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是_______人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的有_______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
21.（本题满分12分）
如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若x轴上有一点M，使得，求点M的坐标.
22.（本题满分12分）
某商场筹集资金12.8万元，计划一次性购进空调、彩电共30台.根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见下表.
设该商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）；
（2）该商场有哪几种进货方案可供选择？
（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？
23.（本题满分12分）
如图，AD是以AB为直径的的切线，点C在AB上方的圆弧上，，CE垂直平分BD，CE分别交BD，AB于点F，E.
（1）证明：四边形BCDE是菱形；
（2）若，求的半径.
24.（本题满分12分）
如图1，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，点P在矩形ABCD的边上从点A出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t（秒），当点P到达点C时停止运动，过点P作交AC于点Q.
（1）当与相似时，求t的值.
（2）记的面积为S，求S关于t的函数解析式.
（3）如图2，将沿AC翻折得，在点P的运动过程中是否存在时刻t，使的顶点恰好落在边CD上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
25.（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A，B，C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接AC，BC，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接BD，CD，并延长CD交抛物线于点E，连接BE.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标.
参考答案
一、选择题
1--5ACCBD 6--10BCCAB 11-12BB
二、填空题
13.或 14.（1，3） 15. 16.780 17. 18.
三、解答题
19.（1）解：原式.
（2）解：原式.
将，代入可得，原式.
20.解：（1）本次调查的总人数是18+36%=50（人），
估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的有（人）.
（2）喜欢篮球的人数为50×24%=12（人），
喜欢羽毛球的人数为50-18-12-10-4=6（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种，
∴所求概率为.
21.解：（1）设反比例函数的解析式为，将代入，可得，解得，
∴反比例函数的解析式为.
把代入，可得，解得，经检验，是方程的解，
∴.
设一次函数的解析式为，将，代入，
可得解得
∴一次函数的解析式为.
（2）当时，可得，解得，∴，∴，
∴.
∵，∴，∴.
当点在点左侧时，；当点在点右侧时，.
综上，点的坐标为或.
22.解：（1）.
（2）由题意，得
解得.
∵为整数，共有3种进货方案，具体方案如下：
方案1：购进空调10台，彩电20台；方案2：购进空调11台，彩电19台；方案3：购进空调12台，彩电18台.
（3）∵，且，
∴y随x的增大而增大.∴当时，取得最大值，.
∴当购进空调12台，彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元.
23.（1）证明：∵CE垂直平分BD，∴，，.
∵，∴.
在和中，∴，
∴，即四边形BCDE的对角线互相平分，∴四边形BCDE是平行四边形.
又，∴四边形BCDE是菱形.
（2）解：如图，连接AC.
设.由（1）得.
∵是的切线，∴.
在中，，即.
∵，∴.
在中，，即.
∵AB为的直径，∴.
在中，，即，
整理得，解得或（舍去）.
∴，∴.
∴的半径为.
24.解：（1）要使与相似，还需.
∴当点运动到时，.
此时，∴，∴，∴.
（2）如图1，当点P在AB上运动，即时，
由可得，
∴，
∴（当时也符合此式）.
如图2，当点P在BC上运动，即时，.
此时，由可得，
∴.
∴.
又，
∴（当时也符合此式）.
∴
（3）存在.
当点P在AB上运动时，假设时刻点恰好落在CD上，则连接，令交AC于点，如图3.
由对称性可知：，.
在和中，
∴，∴，即是AC的中点，
∴此时点与点O重合，.
由得，∴.
当点P在BC上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻.
综上所述，.
25.解：（1）在平面直角坐标系中，和均为直角三角形.
∵，∴.
又，∴，
∴，∴，即.
又，，∴，，
∴，∴，即.
设抛物线的函数解析式为，
将代入，得，∴.
∴抛物线的函数解析式为，即.
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且点的纵坐标为，∴.
设直线CD的函数解析式为，将，代入，
得解得
∴直线CD的函数解析式为.
联立解得
∴
如图1，过点E作平行于y轴的直线交BC于点H.
设直线BC的函数解析式为，
将，代入，得解得
∴直线BC的函数解析式为.
令，得，∴，∴.
∴.
（3）①如图2，作交抛物线于点K，则.
∵直线BC的函数解析式为，
∴设直线DK的函数解析式为，
将代入，得，解得.
∴直线DK的函数解析式为.
联立
解得 （舍去）.
∴点的坐标为.
②如图3，作BD的垂直平分线，分别交BC，BD于点M，N，连接DM并延长交抛物线于点，
此时.
∵点M在直线BC上，∴设.
又，，
∴，.
∵MN是线段BD的垂直平分线，∴.
∴，解得，
∴.
设直线DM的函数解析式为，
将，代入，得解得
∴直线的函数解析式为.
联立解得 （舍去）.
∴点的坐标为.
综上所述，满足条件的点K有两个，即，.商品名称
空调
彩电
进价（元/台）
5400
3500
售价（元/台）
6100
3900