河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A．B．C．D．
2．若函数满足，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
3．随机变量的概率分布为
则等于（ ）
A．5B．15C．45D．与有关
4．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
5．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ）
A．32B．-32C．0D．1
6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种B．360种C．540种D．300种
8．已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中任取3球，恰有两个白球的概率是
C．从中任取3球，取得白球个数的数学期望是1
D．从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为
10．已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）
A．2，n，10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
11．已知函数，则（ ）
A．的极大值为
B．的最小值为
C．当的零点个数最多时，的取值范围为
D．不等式的解的最大值与最小值之差小于
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差等于 ；
14．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形的排法：
（1）甲乙二人必须站在一起；
（2）甲乙二人不能站在一起；
（3）男女必须间隔而站；
（4）甲乙二人中间恰有1人.
16．已知函数，.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）当时，求函数的极值.
17．已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
18．2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
19．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若，证明：关于x的不等式有解．
参考答案
1．【答案】B
【详解】解：由条件概率的计算公式，可得：
故选B.
2．【答案】C
【详解】由，得，
则，解得，
故选C.
3．【答案】B
【详解】根据题意知，，
，
，
故选B.
4．【答案】A
【详解】的定义域为，，
令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选A.
5．【答案】D
【详解】依题，解得，
则二项式的所有项系数之和为.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为函数，定义域为，
则，
当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极大值；
当时，恒成立，函数不存在极值；
当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极小值；
所以，
故选C.
7．【答案】A
【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；
选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；
选用五种颜色时，有种，
所以一共有种，
故选A.
8．【答案】B
【解析】对函数求导得，求得的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得的值，即可得答案.
【详解】∵，
∴，解得，∴，
∴.
故选B.
9．【答案】BC
【详解】A选项中，所求概率故A错误，
B选项中，所求概率故B正确，
C选项中，从中任取3球，取得白球个数的可能取值为0,1,2,由A、B可知则所求,故C正确，
D选项中，所求概率故D错误，
故选BC.
10．【答案】ABD
【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.
【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确；
令，，则的各项系数之和为64，B正确；
的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C错误；
的展开式中的第5项为为常数项，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】解：因为，
所以.
当或时，；当或时，.
即在和上单调递减，在和上单调递增，
所以函数在取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，
故的极大值为，的最小值为，故A正确，B错误.
所以零点个数最多为，此时，，解得，C正确.
不等式，即，令，则
.
当或时，；当或时，.
即在和上单调递减，在和上单调递增，
所以的函数图象如下所示：
因为，，
则的解的最大值与最小值之差小于，
即不等式的解的最大值与最小值之差小于，D正确.
故选ACD.
12．【答案】8
【详解】根据题意，，则，又．
13．【答案】/
【详解】因为，所以，
，，
所以.
14．【答案】56
【详解】第一个括号内取1时，第二个为；
第一个括号内取时，第二个为，
所以展开式中的系数为.
15．【答案】（1）10080；（2）30240；（3）1152；（4）8640.
【详解】（1）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列，甲乙二人必须站在一起的排法总数为；
（2）先把其他6个人排好，再排甲乙插空，甲乙二人不能站在一起的排法总数为；
（3）先排列男生，再排列女生，再把女生插入男生队伍，男女必须间隔而站的排法总数为；
（4）先排列甲乙，再从6个人中间选择1个人放在甲乙中间，把他们看成一个整体，和其他人排列，甲乙二人中间恰有1人的排法总数为.
16．【答案】（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.
【详解】（1）当时，，
所以.
令，得或，
列表如下：
由于，，
所以函数在区间上的最大值为2.
（2），
令，得或.
当时，，所以函数在上单调递增，无极值.
当时，列表如下：
函数的极大值为，极小值为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得：.
（2）令，则，
再令，则，
又，
所以
（3）两边同时求导得：
，
令，则
18．【答案】（1），73.5分；（2）分布列见解析，1.
【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，再结合中位数的计算方法，即可求解；
（2）根据题意，得出在抽取了4人，抽取了2人，得到随机变量的取
【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得，
解得，
由的概率之和为，
所以中位数为（分）.
（2）由题意，可得在共有（人），
在共有（人），
所以在抽取了4人，在抽取了2人，
所以随机变量的取值为，
可得，
所以数学期望为.
1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；
2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
19．【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析．
【详解】（1）函数的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增．
②若，令，则，
在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，若，的单调递增区间为．
若，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若，由（1）知，
即证明．
令，
令，得，在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，
因此，恒成立，即原不等式有解．1
2
4
0.4
0.3
X
0
1
2
P
-2
-1
1
+
0
-
0
+
极大值
极小值
+
0
-
0
+
极大值
极小值
0
1
2
P