2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设抛物线的焦点坐标为(0,−2)，准线方程为y=2，则该抛物线的方程为( )
A. x2=12yB. x2=−12yC. x2=8yD. x2=−8y
2.已知圆M：x2+y2−2ax=8截直线l：x−y=0所得的弦长为 34.则圆M与圆N：x2+(y−1)2=4的位置关系是( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
3.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )
A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，9
4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x236+y24=1和C2：x2+y29=1.P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是OP⋅OQ的最大值．记Ω={(P,Q)|P在C1上，Q在C2上，且OP⋅OQ=w}，则Ω中元素个数为( )
A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个
二、填空题：本题共12小题，共48分。
5.直线x−y+1=0的倾斜角______．
6.椭圆x24+y23=1的焦距等于______．
7.设事件A、B是互斥事件，且P(A)=P(B)=14，则P(A∪B)= ______．
8.若直线l1：3x−my+1=0与l2：y=2x+1互相垂直，则实数m=______．
9.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为 ．
10.已知x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，则a12+a222+⋯+a626= ______．
11.抛物线y2=−8x的焦点与双曲线x2a2−y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为______．
12.三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______．
13.某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有______人.
14.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．
15.如图，从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P(x0,y0)处的切线xx0a2+yy0b2=1垂直于∠F1PF2的角平分线.已知椭圆C：x24+y23=1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T(t,0)，则t的取值范围是______．
16.已知实数x，y满足x|x|+y|y|3=1，则| 3x+y−5|的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知直线l1：ax+y+2=0．
(1)若直线l1在x轴上的截距为−2，求实数a的值；
(2)直线l1与直线l2：2x−y+1=0平行，求l1与l2之间的距离．
18.(本小题9分)
在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A、B、C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如表：(单位：个)
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个．
(1)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x、y、10、11、9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求|x−y|的值；
(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率．
19.(本小题9分)
已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y+9=0．
(1)若直线l过点P且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=2 3时，求以MN为直径的圆的方程；
(3)设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值．
20.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内Γ上的一点，PF1、PF2的延长线分别交Γ于点Q1、Q2．
(1)求ΔPF1Q2的周长；
(2)求ΔPF1Q2面积的取值范围；
(3)设r1、r2分别为ΔPF1Q2、ΔPF2Q1的内切圆半径，求r1−r2的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.π4
6.2
7.12
8.−6
9.4
10.−6364
11.π3
12.3
13.2
14.329
15.(−12,12)
16.[5− 6,5)
17.解：(1)直线l1：ax+y+2=0，令y=0，求得x=−2a=−2，则a=1．
(2)直线l1与直线l2：2x−y+1=0平行，则−1×a=2×1，得a=−2，
∴当a=−2时，直线l1：−2x+y+2=0，即l1：2x−y−2=0满足条件
此时直线l1与l2之间的距离为d=|1−(−2)| 22+1=3 5=3 55．
18.解：(1)因为数据x、y、10、11、9的均值为10，方差为2，
所以15(x+y+10+11+9)=10，
则x+y=20，
由于15×[(x−10)2+(y−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2]=2，
得x2+y2=208，
从而(x+y)2=x2+y2+2xy，所以2xy=192，
即|x−y|= (x−y)2= x2+y2−2xy= 208−192=4；
(2)设这一天生产的纪念品为m，
由题意得，200m=40100+300，
解得m=2000，
所以n=2000−100−300−150−450−600=400，
设所抽样本中有p个精品型纪念品，
则4001000=p5，解得p=2，
故抽取了2个精品型纪念品，3个普通型纪念品，
所以至少有1个精品型纪念品的概率为C52−C32C52=710．
19.解：(1)由x2+y2−6x+4y+9=0得(x−3)2+(y+2)2=4，
设直线l的斜率为k，则方程为y−0=k(x−2)，
又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=2，
由|3k+2−2k| k2+1=2，解得k=43或k=0，
所以直线方程为y=43(x−2)或y=0，
即直线l的方程为4x−3y−8=0或y=0．
(2)设MN的中点为Q(a,b)，则|CQ|= 4−(2 32)2=1，
又PQ⊥CQ，所以PQ⋅CQ=0，
∴ (a−3)2+(b+2)2=1(a−2)(a−3)+(b−0)(b+2)=0，
∴a=2b=−2或a=185b=−65，
∴以MN为直径的圆的方程为(x−2)2+(y+2)2=3或(x−185)2+(y+65)2=3．
(3)由直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，
则圆心C到直线的距离d=|3a+3| a2+10)，
联立x=my+1x2+2y2=2，消去x得(m2+2)y2+2my−1=0，
则y0+y2=−2mm2+2,y0⋅y2=−1m2+2，
所以|y0−y2|= (2mm2+2)2+4m2+2= 8m2+2−8(m2+2)2，
令t=1m2+2(0