上海市黄浦区格致中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份上海市黄浦区格致中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设抛物线的焦点坐标为(0,−2)，准线方程为y=2，则该抛物线的方程为( )
A. x2=12yB. x2=−12yC. x2=8yD. x2=−8y
2.已知圆M：x2+y2−2ax=8截直线l：x−y=0所得的弦长为 34.则圆M与圆N：x2+(y−1)2=4的位置关系是( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
3.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )
A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，9
4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x236+y24=1和C2：x2+y29=1.P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是OP⋅OQ的最大值．记Ω={(P,Q)|P在C1上，Q在C2上，且OP⋅OQ=w}，则Ω中元素个数为( )
A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个
二、填空题：本题共12小题，共48分。
5.直线x−y+1=0的倾斜角______．
6.椭圆x24+y23=1的焦距等于______．
7.设事件A、B是互斥事件，且P(A)=P(B)=14，则P(A∪B)= ______．
8.若直线l1：3x−my+1=0与l2：y=2x+1互相垂直，则实数m=______．
9.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为 ．
10.已知x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，则a12+a222+⋯+a626= ______．
11.抛物线y2=−8x的焦点与双曲线x2a2−y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为______．
12.三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______．
13.某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有______人.
14.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．
15.如图，从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P(x0,y0)处的切线xx0a2+yy0b2=1垂直于∠F1PF2的角平分线.已知椭圆C：x24+y23=1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T(t,0)，则t的取值范围是______．
16.已知实数x，y满足x|x|+y|y|3=1，则| 3x+y−5|的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知直线l1：ax+y+2=0．
(1)若直线l1在x轴上的截距为−2，求实数a的值；
(2)直线l1与直线l2：2x−y+1=0平行，求l1与l2之间的距离．
18.(本小题9分)
在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A、B、C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如表：(单位：个)
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个．
(1)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x、y、10、11、9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求|x−y|的值；
(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率．
19.(本小题9分)
已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y+9=0．
(1)若直线l过点P且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=2 3时，求以MN为直径的圆的方程；
(3)设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值．
20.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内Γ上的一点，PF1、PF2的延长线分别交Γ于点Q1、Q2．
(1)求ΔPF1Q2的周长；
(2)求ΔPF1Q2面积的取值范围；
(3)设r1、r2分别为ΔPF1Q2、ΔPF2Q1的内切圆半径，求r1−r2的最大值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：因为抛物线的顶点在原点，焦点坐标为(0,−2)，准线方程为y=2，
所以抛物线开口向下，且p=4，
则抛物线的方程是x2=−8y，
故选：D．
根据题意确定出抛物线开口向下，且p=4，代入抛物线的标准方程即可．
本题考查抛物线的标准方程，确定出抛物线开口方向是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由圆M：x2+y2−2ax=8可得M圆心坐标为(a,0)，半径为 a2+8，
圆N：x2+(y−1)2=4的圆以为N(0,1)，半径为2，
由题意得a2+8=(|a| 2)2+(12 34)2，解得a2=1，圆M的半径为3，
|MN|= a2+1= 2，
则3−2