2024-2025学年上海市行知中学高二（上）数学期末试卷及答案解析

这是一份2024-2025学年上海市行知中学高二（上）数学期末试卷及答案解析，共16页。试卷主要包含了 椭圆的离心率为_____．， 直线恒过定点_____．，9##， 已知，则_____．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程求，根据离心率的定义求结论.
【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则a=2，，，
所以椭圆的离心率.
故答案：.
2. 直线恒过定点_____．
【答案】−1,1
【解析】
【分析】将不等式变形为，可得原直线过直线的交点，联立直线，求交点即可.
【详解】由可得，
所以直线过直线的交点，
故，解得，
故定点为.
故答案为：
3. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小.
【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为，
所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为.
故答案为：
4. 某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为_____．
【答案】0.9##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质计算得答案.
【详解】记两次考试分别超过130分的事件为，则，
因此，
所以两次考试中至少有一次超过130分概率为0.9.
故答案为：0.9
5. 的二项展开式中的常数项为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理直接求出展开式的常数项.
【详解】二项式的展开式的常数项为.
故答案为：
6. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】求出椭圆的左焦点坐标，进而求出值.
【详解】椭圆的半焦距，其左焦点为，
抛物线的准线，则，
所以.
故答案为：6
7. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标.
【详解】因为点Q在直线OP上运动，
所以，则，则
则，
所以
当时，取最小值，此时
故答案为：.
8. 设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的长度是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，则弦AB的长度为.
【详解】圆的方程为：，圆心到直线的距离为，
则弦AB的长度为.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，圆中弦长的计算，属于基础题．
9. 已知，则_____．
【答案】175
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法计算得解.
【详解】取，得；取，得，
所以.
故答案为：175
10. 有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有_____种．
【答案】81
【解析】
【分析】求出每名学生报名的种数，再利用分步乘法计数原理列式计算得解.
【详解】依题意，每名学生报名的种数是3，由分步乘法计数原理得不同的报名结果有种.
故答案为：81
11. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，证得平面，利用等体积法将三棱锥的体积最小值转化为求的面积最小值，结合图形可得此最小面积为的面积，进而求解.
【详解】在直四棱柱中，平面，平面，
则，在菱形中，，而平面，
则平面，又菱形边长1，，则，
点在线段上，在线段上，则，
因此三棱锥的体积最小，当且仅当的面积最小，而是定值，
则当且仅点到直线的距离最小，又的延长线与延长线相交于点，
于是点与点重合时，点到直线的距离取最小值，如图，
显然四边形为正方形，连接，令，由，
得，，
点到直线的距离，又，
则面积为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积最小值为.
故答案为：
12. 抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值.
【详解】设、，作分别于，则，，
在梯形中，有，
在中，，
又，则，即，
当且仅当时取等号，因此，所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．
二、选择题（本题共4个小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13. 已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.
【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误；
对于B，，则与相交、平行或，故B错误；
对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确；
对于D，，则与相交、平行或，故D错误.
故选：C.
14. 行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全排列列式即得.
【详解】依题意，10位同学排成两排，每排5人拍照，相当于10个人到10个位置就坐，
所以不同排法种数是.
故选：B
15. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B. 底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
D. 有公共点的两个圆相切
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件的意义逐项分析即可求解.
【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是；
对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是；
对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是；
对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是.
故选：C
16. 已知圆，，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆满足与外切且与内切，得，的轨迹为椭圆，求出椭圆的方程，分析要的最小，只要最小，设点根据的范围即可求出.
【详解】因为圆，圆，动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为，由题意得，
所以的轨迹是以为焦点，长轴长为16的椭圆，所以其方程为 因为，即为圆的切线，要的最小，只要最小，
设，则因为，所以，
故选：A.
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，19-21每题18分，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示）
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由得到，根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定、性质可证；
（2）设相交于一点，连接，易知是直线与平面所成的角，进而求出角的大小.
【小问1详解】
由题设，且，
故，
所以，故.
因为 底面，底面，所以，
因为，且面，
所以平面，
又平面，
则，
【小问2详解】
设相交于一点，连接，由（1）知：平面，
所以是直线与平面所成的角，
，则，
因为四棱锥的体积为，底面，
所以，所以，
,,
所以 ，
所以所求线面角的大小为.
18. 某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
①每位学生每天最多选择1项；
②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
（1）若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω；
（2）若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率．
【答案】（1）答案见解析；
（2）14，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，写出样本空间.
（2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解，进而求出事件发生的概率.
【小问1详解】
(音乐,口语), (音乐,阅读)，(音乐,编程)，(音乐,美术), (阅读,口语), (阅读,编程)，(阅读,美术)，
(体育,口语), (体育,阅读)，(体育,编程)，(体育,美术), (编程,口语), (编程,阅读)，(编程乐,美术).
【小问2详解】
依题意，周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四，
①若周一选编程，则体育在周三或周四，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案；
②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，有3种，
阅读在剩下的两天中选，有2种，共有6种方案；
③若周四选编程，则体育在周一或周三，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案，
所以不同选择方案共有（种），
事件含有的样本点：(周一阅读,周二编程,周三体育), (周一阅读,周二编程,周四体育),(周一阅读,周二体育,周四编程)，
事件有3个样本点，事件发生的概率.
19. 树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子．
（1）求兔子被狼吃掉的点的区域面积；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围．
【答案】（1）平方米；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立直角坐标系，由时间关系求得的坐标满足的关系即可求出.
（2）求出直线的方程，利用直线与圆的位置关系列出不等式求得的范围.
【小问1详解】
以点为原点，射线分别为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，
则，设，
由狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，得，即，
则4，整理得，
因此M在以为圆心，为半径的圆及内部，
所以兔子被狼吃掉的点的区域面积平方米.
【小问2详解】
依题意，直线的斜率满足，直线的方程为，
由兔子要想不被狼吃掉，得直线与圆相离，
则，解得，因此，而，解得，
所以锐角的取值范围是.
20. 已知函数，为正整数．
（1）当，且时，求的值；
（2）当，且时，从，，，，中任取一个数，求取到的数为有理数的概率；
（3）当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）结合二项式展开式条件转化为，根据组合数性质可求；
（2）由条件，结合二项式展开式的通项公式可求，，，，，根据古典概型概率公式求结论；
（3）根据二项式展开式求，分析的单调性，由此确定的最大值，由此确定结论.
【小问1详解】
当，，
又，，
所以，所以；
小问2详解】
当，时，，
又，
所以，， ，，
，， ，，，
所以，，，，为有理数，
所以从，，，，中任取一个数，取到有理数的概率为，
【小问3详解】
当，且时，，
又二项式的展开式的通项公式为，，
所以，，，
当时，，
令，可得，即，所以，
令，可得，即，所以，
令，可得，即，所以，
所以，，，
因为对任意的，，都有，
所以或.
21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值．
【答案】（1）右焦点，长轴长为；
（2）证明见解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及长轴长.
（2）斜率均存在，设直线AB方程为与椭圆方程联立求出点坐标，同理得点坐标，再求出直线的方程即可；再讨论一条直线斜率不存在时的情况.
（3）由（2）中中信息求出，借助函数的单调性求出最值.
【小问1详解】
由椭圆，得长半轴长，短半轴长，半焦距，
所以右焦点坐标，长轴长为.
【小问2详解】
当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为，
由消去，得，
则有，点，而直线：，同理，
当时，直线MN斜率，
直线：，整理得，直线恒过定点，
当，即时，直线：过点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率0，，直线：过点，
所以动直线过定点.
【小问3详解】
由（2）知直线过定点，
，
令，当且仅当取等号，，
函数在上单调递增，，
所以，即时，取得最大值.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.时间
周一
周二
周三
周四
周五
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