江西省赣州市蓉江新区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省赣州市蓉江新区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、属于最简二次根式，符合题意；
B、∵，∴不属于最简二次根式，不符合题意；
C、∵，∴不属于最简二次根式，不符合题意；
D、∵，∴不属于最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A. 3，4，5B. 2，2，C. 2，5，6D. 5，12，13
【答案】C
【解析】A、由于32+42=52，能作为直角三角形的三边长；
B、由于22+22=（）2，能作为直角三角形的三边长；
C、由于22+52≠62，不能作为直角三角形的三边长；
D、由于52+122=132，能作为直角三角形的三边长．
故选：C．
3. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不能合并，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C正确，符合题意；
D、，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
4. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C．由，不能判定四边形平行四边形，故C不符合题意；
D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
5. 已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
6. 两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A. 15B. 14C. 13D. 12
【答案】A
【解析】如图，在两张全等的矩形纸片，中，，
，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
，
设，
则，
在中，，
即，
解得，
，
则图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：A．
二、填空题
7. 使有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，
．
故答案为：．
8. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°．
【答案】60°
【解析】四边形平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
9. 若，则的值为_____．
【答案】
【解析】平方得：，
展开后，，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【解析】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20．
11. 如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，
∴，
又，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴DO=5，
当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，
∵MN=1，
∴，
在Rt△DON中，，
∴，
在Rt△DON和Rt△BOM中，
，
∴，
∴DN=BM，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
12. 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为____．
【答案】3，2.5或
【解析】若△PAC是等腰三角形，则分以下三种情况：
①PA=AC=3；
②AP=PC时，则∠A=∠ACP，
∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠B=∠BCP，
∴PC=PB，∴AP=PB=PC，
∴P为AB的中点，
∵在Rt△ABC中，，∴AP=2.5；
③PC=AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP=2AD，
∵在Rt△ACD中，AD=AC•csA，
∴AP=2AC•csA，
又∵在Rt△ABC中，，
∴，
综上所述，AP的长为3，2.5或．
故答案为：3，2.5或．
三、解答题
13. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．
证明：连接，，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别是的中点，
，
∴，
∴是平行四边形，
∴．
15. 先化简，再求值：，其中．
解：原式=
=，
当时，原式=．
16. 如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长．
解：由折叠的性质可得：，BD=CD，
，
∵，
∴，
∴AD=AB－BD=4－CD，
在Rt△DAC中，由勾股定理得：，
解得：，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：．
答：折痕的长为．
17. 在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图中画出的中点；
（2）在图中的对角线上取两个点，使．
解：（1）如图所示，点即为所求；
（2）如图所示，点即为所求．
18. 如图，每个小正方形的边长为均为格点．
（1）四边形的面积为______，四边形的周长为______；
（2）是直角吗？说明理由．
解：（1）如图：
四边形的面积为，
，
四边形的面积为，
由题意得：
，
四边形的周长为，
故答案为：；
（2）是直角，
理由：连接，
由得：
，
，
，
是直角三角形，
，
是直角．
19. 如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：（1）∵在平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC．
∴四边形BECD为平行四边形．
∴BD=EC．
在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC(SSS)；
（2）∵四边形BECD为平行四边形，
∴ OD=OE，OC=OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD．即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD．
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED．
∴四边形BECD为矩形．
20. 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
（1）_________米，_________米；
（2）①求消防车在A处离楼房的距离（的长度）；
②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）
解：（1）根据题意，可得消防车的高为的长，
∴m；
根据题中图形，可得云梯的长为的长，
∴m．
故答案为：3；10．
（2）①由题意得，，，
∴，
在中，，
即消防车在A处离楼房的距离为；
②由题意得，，，
∴，
在中，
，
∴．
即消防车两次救援移动的距离约为．
21. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．
（1）求，的长；
（2）求证：；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
（1）解：设，
，，
．
由勾股定理得，，
解得：，
，；
（2）证明：由题意得，，
则，
在中，，，，
∴．
又，
．
（3）解：当秒或秒时，为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
①当时，则，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③时，此种情况不存在．
当秒或秒时，为直角三角形．
22. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：
若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
（2）化简：______；
（3）已知为常数点且点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______．
解：（1），
点的“横负纵变点”为，
，
点的“横负纵变点”为．
故答案为：；
（2）


；
（3），
，
，
．
，
，
，
故答案为：
23. 点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；
（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；
（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．
解：（1）OE=OF．理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC．
∵，，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴OE=OF；
（2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立．证明如下：
延长EO交CF于点G．
∵，，
∴AE//CF，
∴．
又∵点O为AC的中点，
∴AO=CO．
在和中，
，
∴，
∴OG=OE，
∴在中，，
∴OE=OF；
（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．
证明如下：①如图2，当点P在线段OA上时．
∵，，
∴，
由（2）可得：OF=OG，
∴是等边三角形，
∴FG=OF=OE，由（2）可得：，
∴CG=AE．
又∵CF=GF+CG，
∴CF=OE+AE；
②如图3，当点P在线段OA延长线上时，
∵，，
∴，
同理可得：是等边三角形，
∴FG=OF=OE，
同理可得：，
∴CG=AE．
又∵CF=GF-CG，
∴CF=OE-AE．