江西省九江市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份江西省九江市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（1，﹣3）B．（﹣2，1）C．（﹣5，﹣1）D．（﹣5，5）
3．（4分）若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3B．C．D．3﹣2a＜3﹣2b
4．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′的度数为（ ）
A．110°B．100°C．90°D．70°
5．（4分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a≤5B．5＜a≤6C．4≤a＜5D．5≤a＜6
6．（4分）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（ ）
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D
②取BC边的中点D，连接AD
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）不等式2（x﹣2）≤x﹣2的解集为 ．
8．（4分）若不等式组的解集为x≥3，则a的取值范围是 ．
9．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为 ．
10．（4分）一次新冠病毒防疫知识竞赛有25道题，评委会决定：答对一道题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次知识竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），那么小明至少答对了 道题．
11．（4分）如图，函数y＝kα+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 ．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），点C在y轴上，且△ABC是等腰三角形，则点C的坐标除了（0，﹣4）之外，还可能为 ．
三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
13．（7分）解不等式组，并把它在的解集在数轴上表示出来．
14．（7分）如图，AB＝AC，AD＝AE，BE和CD相交于点O，请判断△BOC的形状，并说明理由．
15．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为10，AC﹣BC＝4，求AB与BC的长．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
16．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝64°，∠BAC＝82°，D为BC边上一点，DE交AC于点F，且AB＝AD＝DE，连接AE，∠E＝60°．请判断AD与FD的数量关系，并说明理由．
17．（9分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣1），（0，﹣2），根据下面要求完成解答．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使PA2+PC2的值最小，直接写出点P的坐标．
18．（9分）如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
（1）AB，AC，CE有什么关系？请你说明理由；
（2）求证：AB+BD＝DE；
（3）若AB＝5，AD＝4，求△ACE的面积．
五、（本大题共11分）
19．（11分）如图1，在等边△ABC中，点E，D分别在AB，BC边上，ED∥AC．
（1）若将图1中的△BDE沿射线BC的方向平移到△CDE的位置，如图2，则∠ACE的度数为 ．
（2）请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
（3）若将图，2中的△CDE绕点C逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗？（不需说明理由）
②延长BE交AD于点F，则∠AFB的度数为 ．
六、（本大题共13分）
20．（13分）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；
（2）经测算，在两种公交车均购买的前提下，该公司购买公交车的总费用不得超过1150万元，则该公司有哪几种购车方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。每小题只有一个正确选项）
1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．【分析】利用点平移的坐标规律，把P点的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．
【解答】解：将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点Q，
则点Q的坐标为（﹣2﹣3，﹣3+2），即Q（﹣5，﹣1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
3．【分析】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可．
【解答】解：A．若a＞b，则有a+3＞b+3，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B．若a＞b，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C．若a＞b，因为m的值无法确定，所以本选项变形无法确定是否成立，故本选项不符合题意；
D．若a＞b，则有﹣2a＜﹣2b，进而可知3﹣2a＜3﹣2b成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．【分析】在△ABC中，可求得∠ABC和∠ACB，在△ABA′中由旋转的性质可求得α的大小，从而可求得∠CBC′，在△BCC′中可求得∠BCC′，从而可求得∠ACC′．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∵以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，
∴AB＝A′B，BC＝BC′，且∠CBC′＝α，
∴∠BA′A＝∠A＝80°，
∴α＝20°，
∴∠CBC′＝20°，
∴∠BCC′＝（180°﹣20°）＝80°，
∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝20°+80°＝100°．
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质，利用旋转的性质和等腰三角形的两底角相等求得α和∠ACB是解题的关键．
5．【分析】解该不等式组可得1＜x＜a，结合该不等式组有且只有三个整数解，易知该不等式组的三个整数解为2，3，4，即可获得答案．
【解答】解：对于不等式组，
解不等式①，可得x＞1，
解不等式②，可得x＜a，
所以，该不等式的解集为1＜x＜a，
若该不等式组有且只有三个整数解，则该不等式组的三个整数解只能为2，3，4，
所以a的取值范围是4＜a≤5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．
6．【分析】①②③分别从能否判定△ABD≌△ACD来分析，④从辅助线本身作法来分析即可．
【解答】解：①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故①正确；
②取BC边的中点D，连接AD，则∠B＝∠C，BD＝CD，AD＝AD，无法判定△ABD≌△ACD，故没法证明AB＝AC，故②错误；
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故③正确；
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法错误，故④错误．
综上，正确的有①③．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的作法，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．【分析】将不等式去括号，然后移项，合并同类项即可求得其解集．
【解答】解：2（x﹣2）≤x﹣2
去括号，得
2x﹣4≤x﹣2，
移项，合并同类项，得
x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】此题主要考查学生对解一元一次不等式的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
8．【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）”，即可求解．
【解答】解：若不等式组的解集为x≥3，
则a的取值范围为a＜3．
故答案为：a＜3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，理解并掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键．
9．【分析】先根据平移的性质得到CF＝AD＝2cm，AC＝DF，而AB+BC+AC＝16cm，则四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF＝AD＝2cm，AC＝DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC＝16cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD
＝AB+BC+AC+CF+AD
＝16cm+2cm+2cm
＝20cm．
故答案为：20cm．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
10．【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（25﹣x）道题，根据总分＝4×答对题目数﹣1×答错或不答题目数结合总分不少于85分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（25﹣x）道题，
依题意，得：4x﹣（25﹣x）≥85，
解得：x≥22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11．【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y＝2x都在直线y＝kx+b的上方，当x＜2时，直线y＝kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．
【解答】解：设A点坐标为（x，2），
把A（x，2）代入y＝2x，
得2x＝2，解得x＝1，
则A点坐标为（1，2），
所以当x＞1时，2x＞kx+b，
∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），
∴x＜2时，kx+b＞0，
∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．
故答案为：1＜x＜2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题，属于中考常考题型．
12．【分析】由点A（3，0），B（0，4）可知OA＝3，OB＝4，根据勾股定理可得．分两种情况讨论：当AC1＝BC1时和当AB＝BC2时，分别求解即可．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴，
（1）如下图，当AC1＝BC1时，
设C1（0，m）（m＞0），
∴OC1＝m，BC1＝OB﹣OC1＝4﹣m，
∴，
∵AC1＝BC1，
∴，
∴m2+9＝（4﹣m）2，
解得，
∴；
（2）如下图，当AB＝BC2时，
此时可有BC2＝AB＝5，
∴OC2＝OB+BC2＝4+5＝9，
∴C2（0，9）；
（3）如下图，当AB＝AC3时，
∵AB＝5，OB＝4，
∴C3（0，﹣1）
综上所述，点C的坐标除了（0，﹣4）之外，还可能为，（0，9），（0，﹣1）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理等知识，理解题意，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
13．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x+2＞x﹣2，得：x＞﹣2，
解不等式≤7﹣x，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．【分析】证明△ABE≌△ACD（SAS），得∠ABE＝∠ACD，再由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，进而证明∠OBC＝∠OCB，然后由等腰三角形的判定即可得出结论．
【解答】解：△BOC是等腰三角形，理由如下：
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠OBC＝∠OCB，
∴△BOC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．【分析】根据题意可知AC+BC＝10，然后根据AC﹣BC＝4，可得出AC、BC的长度，即可获得答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为10，即BE+EC+BC＝10，
∴AE+EC+BC＝10，即AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝4，
∴AC＝7，BC＝3，
∵AB＝AC，
∴AB＝7．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
16．【分析】首先利用三角形内角和定理可得∠C＝34°，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B＝∠ADB＝64°，再证明△ADE为等边三角形，易知∠ADF＝60°，△ADF为直角三角形，然后由“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”即可获得答案．
【解答】解：AD＝2FD，理由如下：
∵∠B＝64°，∠BAC＝82°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣82°＝34°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝64°，
∴∠DAF＝∠ADB﹣∠C＝64°﹣34°＝30°，
∵AD＝DE，∠E＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADF＝60°，
∴∠AFD＝180°﹣∠DAF﹣∠ADF＝90°，
在Rt△ADF中，AD＝2FD．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，熟练掌握形灵活运用相关知识是解题关键．
17．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2．
（3）作点C2关于x轴的对称点C′，连接C′A2交x轴于P，如图，则C′（4，2），此时PA2+PC2的值最小，利用待定系数法求出直线A2C′的解析式为y＝﹣x+6，然后确定P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，﹣2）．
（3）作点C2关于x轴的对称点C′，连接C′A2交x轴于P，如图，则C′（4，2），
PA2+PC2＝PA2+PC′＝A2C′，
此时PA2+PC2的值最小，
设直线A2C′的解析式为y＝kx+b，
把C′（4，2），A2（7，﹣1）得，解得，
∴直线A2C′的解析式为y＝﹣x+6，
当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴P点坐标为（6，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
18．【分析】（1）因为AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB＝AC＝CE；
（2）由（1）的结论得AB＝AC＝CE，因为AC+CD＝AB+BD，所以DE＝EC+CD＝AB+BD，即AB+BD＝DE．
（3）利用三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）解：结论：AB＝AC＝CE．
理由：AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE；
（2）证明：∵AB＝AC＝CE，
∵AC+CD＝AB+BD，
∴DE＝EC+CD＝AB+BD，
即AB+BD＝EC+CD＝DE；
（3）解：∵AB＝5，AB＝CE．
∴CE＝5，
∵AD⊥BC，
∴S△ACE＝•EC•AD＝×5×4＝10．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
五、（本大题共11分）
19．【分析】（1）首先证明△BDE为等边三角形，由平移的性质可得△CDE为等边三角形，且B、C、D在同一直线上，根据∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD即可获得答案；
（2）根据“SAS”证明△BCE≌△ACD即可；
（3）①根据“SAS”证明△BCE≌△ACD，即（2）中的结论还成立；②由全等三角形的性质可得∠EBC＝∠DAC，易知∠ABE+∠DAC＝60°，结合∠BAC＝60°，由三角形内角和定理可求得∠AFB＝60°．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵ED∥AC，
∴∠EDB＝∠ACB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
由题意可知，△BDE沿射线BC的方向平移到△CDE的位置，
∴△CDE为等边三角形，且B、C、D在同一直线上，
∴CE＝CD＝DE，∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°；
（2）△BCE≌△ACD，理由如下：
∵∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（3）①（2）中的结论还成立．理由如下：
∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝60°，
∴∠ABE+∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴在△ABF中，
∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣∠BAC﹣（∠ABE+∠DAC）＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
六、（本大题共13分）
20．【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，根据题意“总费用不得超过1150万元”可得100m+150（10﹣m）≤1150，求解并讨论即可；
（3）分别求出各种购车方案总费用，即可作出判断．
【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据题意，可得：
，
解得，
所以，购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需200万元；
（2）在两种公交车均购买的前提下，可设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，
则100m+150（10﹣m）≤1150，
解得m≥7，
所以m＝7，8，9，
则（10﹣m）＝3，2，1，
所以，可有三种方案：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆；购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆；
（3）方案①：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆，
总费用100×7+150×3＝1150万元；
方案②：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，
总费用100×8+150×2＝1100万元；
方案③：购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆，
总费用100×9+150×1＝1050万元．
所以，购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆总费用最少，最少总费用是1050万元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．