黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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考生注意
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知向量 ， ，若向量 ，则 （ ）
A. B. C. 8 D.
3. 在三角形 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
4. 已知向量 ， 满足 ，则 （ ）
A. 0 B. 2 C. D.
5. 已知 ， ，则 值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 4 D. 6
6. 已知向量 ，则下列向量与 平行的是（ ）
A. B. C. D.
7. 四边形 是正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为 中点，且
，则 （ ）
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A. B. C. D.
8. 已知 的外接圆圆心为 O，且 ， ，点 D 是线段 BC 上一动点，则
的最小值是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中，正确 是（ ）
A. 若 与 都是单位向量，则
B. 直角坐标平面上的 轴、 轴都是向量
C. 若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 与 不重合
D. 海拔、温度、角度都不是向量
10. 已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与 的夹角为
C. 若 ，则 D. 存在 ，使得
11. 在边长为 3 的正方形 中， 分别是边 上的动点（含端点），且 ，则
的取值可以是（ ）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ， ，则 与 的夹角为_______．
13. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 __________．
14. 已知 ， ，且 .若 ，则当 时， 的取值范围为______.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ， ，且 与 的夹角为 120°，求：
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（1） ；
（2）若向量 与 平行，求实数 的值．
16. 在 中， 分别是角 的对边. 若 .
（1）求 的值；
（2）求边长 的值.
17. 如图，在 中，点 、 满足 ， ，点 满足
， 为 中点，且 、 、 三点共线.
（1）用 、 表示 ；
（2）求 的值.
18. 已知 ， ．
（1）当 x，y 为何值时， 与 共线？
（2）是否存在实数 x，y，使得 ，且 ？若存在，求出 xy 的值；若不存在，请说明理由．
19. 正等角中心（psitive isgnal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国
数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的
距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使得
的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角
的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所对的边分别为 ，
（1）若 ，
①求 ；
②若 ，设点 为 的费马点，求 ；
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（2）若 ，设点 为 的费马点， ，求实数
的最小值．
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