贵州省遵义市正安县第二中学2025届高三上学期第一次月考数学练习试题（解析版）

这是一份贵州省遵义市正安县第二中学2025届高三上学期第一次月考数学练习试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（ ）
A. 34B. 35C. 36D. 37
【答案】D
【解析】
【分析】直接由百分位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以所求数据的第85百分位数为37.
故选：D.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合对数函数定义域，解不等式得到，根据交集概念得到答案.
【详解】，
由对数函数定义域可知，
故
故选：C
3. 下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，可以说明它在0,+∞上不是单调递增，从而即可判断；对于BC，可以说明它们的值域并不是R，从而判断；对于D，由对数函数性质即可判断.
【详解】对于A，若，由，则，所以在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，二次函数的最小值为，值域并不是R，故B错误；
对于C，幂函数在0,+∞上单调递增，但是它的值域是，并不是R，故C错误，
对于D，当时，，由对数函数性质可知在0,+∞上单调递增，且值域为R，故D正确.
故选：D.
4. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”，
所以，可得.
故选：C.
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式分两段讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】因为，则不等式，
等价于或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：B
6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，解得或（舍去），
则．
故选：B．
7. 已知函数在处取得极小值，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】由导数为0求得，然后利用单调性再确定是极小值点即得．
【详解】由已知，
因此，或，
若，则，
时，，递增，时，，递减，是极大值点，不合题意，
若，则，
时，，递减，时，，递增，是极小值点，符合题意，因此
故选：C
8. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）
A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42
C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74
【答案】C
【解析】
【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.
【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件，
则两人都中靶的概率为，
两人都不中靶的概率为，
恰有一人中靶的概率为，
至少一人中靶的概率为.
故选：C
二、多选题
9. 下列结论中正确的是（ ）
A 已知集合，若，则实数
B. 设，则“且”是“”的充分不必要条件
C. 若，则
D. 的定义域为，则的定义域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,根据元素和集合之间的关系求解即可，要注意集合中元素的互异性；对于B,根据充分条件、必要条件的含义判断即可；对于C,根据不等式的性质判断即可；对于D,根据抽象函数定义域的求法求解即可.
【详解】对于A,∵，∴或．
①当时，，此时，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
②当时，或，
当时，满足条件，
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去，所以，A正确；
对于B,因为且，所以，所以“且”能推出“”，
当，时，但，所以“”不能推出“且”，
所以“且”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C,因为，所以，，所以，即，C错误；
对于D,因为的定义域为，所以，解得，故的定义域为，D正确；
故选：ABD．
10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故选：AC
11. 对于函数定义域中任意的，有如下结论，①，②，③，④.下列函数能同时满足以上两个结论的有（ ）
A fx=lnxB.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得结果.
【详解】由①可得，函数在定义域内为增函数；
由②可得，，即函数为奇函数；
由③可得，函数的图象向下凸.；
由④可得，，
即，说明函数周期为4.
对于A，函数不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除；
对于B, 函数是奇函数，且周期为,故符合要求；
对于C，函数在上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求；
对于D，是奇函数，且在上单调递增，故符合要求.
故选：BCD.
三、填空题
12. 的展开式中常数项为__________.
【答案】
【解析】
【分析】写出其展开式的通项，然后令指数部分为0，求解即可.
【详解】的二项展开式为，
令，得，
其展开式的常数项为.
故答案为：
13. 已知函数则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可.
【详解】因为，，所以．
故答案为：1
14. 函数的零点个数为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】求导得函数单调性，进一步比较极值与0的大小关系即可求解.
【详解】由题意得
令，解得或，
令，解得，
所以上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值；
当时，取得极小值，
当时，；当时，，
所以函数的零点个数为3．
故答案为：3.
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为．
【解析】
【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程；
（2）求导，解不等式得到单调区间.
【小问1详解】
∵，∴，
且，∴，
∴函数在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
∵的定义域为R，
∴由（1）得．
令，解得，
∴当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
16. 某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有次答题机会，选手累计答对题或答错题即终止比赛，答对题者直接进入复赛，答错题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.
（1）求选手甲进入复赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）选手甲进入复赛分为三类：①回答了三个题且都对；②回答了四个题答对三个；③回答了五个题答对三个，故可得选手进入复赛的概率；
（2）依题意，的可能取值为3,4,5，每个取值都分为两种情况，即因淘汰而离开初赛，或者进入复赛．
【小问1详解】
设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件A，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛
，
或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛

选手甲进入复赛的概率
【小问2详解】
的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率
的分布列为：
17. 如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC，
所以PA面ACB，又因为平面PBC，
所以PA，又因为AB是圆的直径，所以，
因为平面，
所以平面；
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，则，
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则，
而，设直线AC与面PBC所成角为，
则，
所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解；
（2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可.
【小问1详解】
∵的周长为8，的最大面积为，
∴，解得，或，．
∴椭圆C的方程为或等．
【小问2详解】

由（1）及易知F21,0，
不妨设直线MN的方程为：，，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立，得．
则，，
若的内心在x轴上，则，
∴，即，即，
可得．
则，得，即．
当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上.
19. 定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
（3）在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为；
（2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论；
（3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可.
【小问1详解】
若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
故，得，从而，所以.
此时，假设，则.
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾；
所以.
由即知是“漂亮数”.
所以最小的“漂亮数”是.
【小问2详解】
若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
此时有
.
再由，即知.
而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”.
【小问3详解】
若，设满足.
则，所以，即.
而，故，即.
所以，得，即.
由于，故.
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
所以，故，得.
故只可能，从而，得，而，故.
但，矛盾.
所以只可能或.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
综上，全体满足条件的有，，，，，.
这表明满足条件的全部为.
所以的全部可能值为，其中是质数的有.
从而是质数的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题.X
3
4
5
P