河北省承德市圣泉高级中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份河北省承德市圣泉高级中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A．共起点的向量B．模相等的向量C．共线向量D．相等向量
2．函数在上没有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．函数的对称中心坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足（，，），则下列叙述不正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为
C．当筒车旋转秒时，盛水筒和初始点的水平距离为
D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为
8．已知和，则的值是( )
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
11．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若，则
B．方程有三个实数根
C．函数的值域是
D．把写成一个角的正弦形式
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的定义域是 ．
13．已知、为锐角，，，则 .
14．已知，函数在上单调递减，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.

16．如图为函数的部分图象．
(1)求函数解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．
17．（1）已知都是锐角，，求的值；
（2）已知，求的值
（3）已知都是锐角，，求的值.
18．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
19．已知函数（其中，）的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)设，，，，求的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为点是正三角形的中心，
所以，，是模相等的向量；
向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；
这三个向量方向不同，不是共线向量；
这三个向量方向不同，不是相等向量.
故选B
2．【答案】C
【详解】函数中，当时，，
由在上没有最小值，得，解得，
所以的取值范围是.
故选C
3．【答案】D
【详解】令），
解得，
故函数的对称中心为，
故选D．
4．【答案】A
【详解】由题得，解得或，
因为，所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】.
故选：B.
6．【答案】A
【详解】试题分析：由题意，,所以，令，则
，即向右平移可以得到.
考点：正弦型函数解析式 函数图像平移变换
点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.
7．【答案】B
【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，
所以，因此本选项叙述正确；
B：因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，因为，所以，
即，
所以，
因此本选项叙述不正确；
C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此本选项叙述正确；
D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为，因此本选项叙述正确，
故选B.
8．【答案】C
【详解】由已知得:
①
②得：，
化简的,
即.
故选:C.
9．【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为，可得，
即，则点是边的中点，故A正确；
对于选项B：因为，可得，
即，则点在边的延长线上，故B错误；
对于选项C：设的中点为，则，
由重心性质可知：点是的重心，故C正确；
对于选项D：因为，则，
整理得，故D正确．
故选ACD．
10．【答案】BD
【详解】因为
，
所以的最小正周期，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当，则，又在上单调递增，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ABC
【详解】对于A,令，所以，，所以，，所以，故A正确；
对B，画出函数与的图象如下，当时，，时，, 可知函数与函数的图象有三个交点，故方程有三个实数根，故B正确；
，令，，则，当时，取最小值，当时，取最大值3，所以函数的值域是，故C正确；
对D，，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】，
【详解】由题意可得，即，
所以，.
13．【答案】
【详解】因为，为锐角，
则，，
可得，
且、为锐角，则，所以.
14．【答案】10
【详解】因为，所以，
又因为在上单调递减，
设，可知在上单调递减，
则，解得，
且，则，解得，
当时，，当时，，
所以的最大值为10.
15．【答案】，
【详解】在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，
则
，
由，得，
所以当，即时，，
因此当时，矩形的面积最大，最大面积为.
16．【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）解：由题中的图象知，，即，所以，
根据五点作图法，令，，解得，，
因为，所以，
所以.
（2）解：令，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（3）解：因为，所以，令，解得，
令，解得，
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为，
又，，，
又方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，所以．
17．【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值．
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值．
（3）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
【详解】（1）已知，都是锐角，，．
，，
.
（2），
，
又，
，，
.
.
（3）已知，都是锐角，，，，，，
．
18．【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）由（2）可得在上单调递减，在上单调递增，
可得，，，
关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
.
（2）由（1）得.
，
，
.
又，
.
又，，
，.
.