河北省张家口市第一中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份河北省张家口市第一中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
4．定义：，其中为向量与的夹角.若，，，则（ ）
A．B．C．6D．－6
5．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．最小值为-2
C．在上的投影向量为
D．若的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑.钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系式为，则函数 .
13．如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 .
14．在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)若，求函数的最小正周期和对称轴；
(2)当时函数的最小值为2，求实数a的值．
16．已知锐角△中的三个内角分别为，，．
（1）设，判断△的形状；
（2）设向量，，且，若，求的值．
17．如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
(1)证明：为定值；
(2)求的最小值，并求此时的，的值.
18．如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离两点分别在两岸上，设.
(1)若，求养殖区域面积的最大值；
(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.
19．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．

(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选B.
2．【答案】D
【详解】根据题意可知，
令,解得，，
故的递增区间是，，
故选D.
3．【答案】D
【详解】由题意得或．
设，则，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即．
故选D.
4．【答案】A
【详解】因为，故，
而，故，故，
故选A
5．【答案】A
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选A．
6．【答案】B
【详解】由，
可知在上的投影向量为，
即点在边上的投影为边的中点，
所以，为等腰三角形．
故选B.
7．【答案】C
【详解】设向量，的夹角为，则，
因为，
所以，
令，则，
因为，所以，又，所以.
故选C.
8．【答案】C
【详解】因在上没有零点，则，因，则，
，得，即，
若，则，
因在上没有零点，则在上不存在整数解，
因，，
则或，解得或
则的取值范围是.
故选C.
9．【答案】BD
【详解】对于A，易知，可得A错误；
对于B，易知，即B正确；
对于C，易知
，即可得C错误；
对于D，，可得D正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，，
所以，所以的周期，所以，，故B正确；
所以，故C正确；，故A错误，
将代入函数解析式可得：，()，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图），
设，则，在中，，，是的中点，
所以，，则
，，，，
所以，，，，
对于A：因为是的中点，所以，故A正确；
对于B：，
因为，所以，当时，取得最小值，
所以最小值为，故B正确；
对于C：在上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为所以，
则，当时，取最大值，故D正确.
故选：ABD.
12．【答案】
【详解】，
由题意可得63.，可得，当时，，可得，即，又，所以，
所以函数的解析式为.
13．【答案】
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，
设，其中，则，
因为，所以，即，
因为，
当且仅当时等号成立.
所以.
又，
所以，
所以的最小值为.
14．【答案】
【解析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.
【详解】，即
由三角函数定义知
=
.
15．【答案】(1)，对称轴为
(2)
【详解】（1）
则最小正周期，令得，
的对称轴为
（2）因，则，得，
当，即，即时，有最小值为，
由已知，得.
16．【答案】（1）等腰三角形．（2）
【详解】（1）因为，所以，
又，∴，
所以，
所以，
所以，即，
故△为等腰三角形．
（2）∵，∴，
∴，即，
∵为锐角，∴，∴，∴，
∴，∴，
又，且为锐角，
∴，∴．
考点：向量与三角综合
【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为是边边上中线，，所以.
又是的中点，，
所以.
因为三点共线，所以且
所以，即为定值；
（2）由（1）
所以
，
当且仅当,即时，等号成立.
所以时，的最小值.
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，再利用基本不等式即得；
（2）由题可知，利用同角关系式可转化为，然后利用函数的单调性即求.
【详解】（1）当时，，
所以，
又因为（当且仅当时等号成立），
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为.
（2）由题意，，
所以，
所以的周长，
其中.
设，则，
所以.
所以，
于是当时，，即，
因此，观赏长廊总长的最小值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可得，
，
-
；
（2），，，
，，，
，
所以四边形是平行四边形，即，
，
是的中点， ，
，
又，
，
；
（3）设，，
则，，
因为三点共线，则设，
，
，
，
，，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
或者：由，得，
所以，所以，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．