河北省承德市部分学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份河北省承德市部分学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 以下说法中正确的是（ ）
A. 两个具有公共起点的向量，一定是共线向量
B. 两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小
C. 单位向量都是共线向量
D. 向量与向量的长度相等
【答案】D
【解析】共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误；
向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误；
单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误；
向量与向量的长度相等，故D正确.
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由两边平方得，
即.
故选：C.
3. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】由题意，
所以将的图象上所有的点向右平移个单位长度，
即可得到的图象.
故选：A.
4. 函数取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据辅助角公式，其中，
可得，，
则，，所以，
当时，取得最大值，
此时，移项可得，
可得，
所以.
故选：A.
5. 已知向量，则取得最小值时值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
则，
故当时，取得最小值.
故选：C.
6. 如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
化简可得，
因，即，可得，
故.
故选：C.
7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ）
A. 是第四象限角B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，即点，
由题意结合任意角的三角函数的定义可知，，
则，故，即点，
对于A选项，为第四象限角，A对；
对于B选项，因为，
且函数在上为增函数，且，
所以，，B错；
对于C选项，因为，C对；
对于D选项，因为为第四象限角，
则sinα=-1-cs2α=-1-2552=-55>-12=sin-30∘，D对.
故选：B.
8. 点是所在平面内一点，，则的最小值为（ ）
A. 25B. 30C. 60D. 80
【答案】B
【解析】由题意建立如图所示平面直角坐标系：
则，设，
所以
，
当时，的最小值为30.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】A选项，，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
故选：AD.
10. 如图，在正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与向量是平行向量
【答案】AD
【解析】对于A，，，
由正六边形的性质可知，即，故A正确；
对于B，设正六边形每条边长为，则故B错误；
对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误；
对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确.
故选：AD.
11. 对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 函数在上单调递增
C. 函数图象的一条对称轴是
D. 函数在上有个零点
【答案】ACD
【解析】对于A选项，易知函数的定义域为，
因为
，作出函数的图象如下图所示：
所以，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，当时，，
则，
此时，
因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，B错误；
对于C选项，因为
，
所以，函数的一条对称轴为直线，C对；
对于D选项，由，解得，
当时，，可得，
解得，所以，函数在上有个零点，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则___________.
【答案】3
【解析】因为，所以，，
所以.
13. 如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】由题意得，所以.
14. 当时，曲线与的交点个数为___________.
【答案】7
【解析】与在上的函数图象如图所示：
由图象可知，两个函数图象交点的个数为7个.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由，得，
而，则，
所以
.
（2）由，得，而，
则，
所以
.
16. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为.
（1）求；
（2）若点为的中点，求.
解：（1）因为，所以，
.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系，
可得.则.
若为的中点，则，故，
又由，则.
17. 已知向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
解：（1）向量，可得，且.
因为与的角为，可得，
解得，所以，
则，
所以.
（2）由向量，
可得，
由，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间；
（2）当时，求的最值；
（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
解：（1）由题意，
得，
令，解得，
所以函数图象的对称中心为；
令，解得，
所以函数图象的对称轴方程为；
由，得，
所以的单调通增区间为.
（2）当时，，所以，
.
当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值2.
（3）由题意得时，有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以的取值范围是.
19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值.
解：（1）由已知，得，
设夹角为，由，可得，即，
又，所以，
所以.
（2）设，则，，
设的夹角为，则，
，
所以，
又，
所以.
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是16.