云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列角中与终边相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】与终边相同的角是，，
当时，，当时，．
结合选项可知只有与终边相同．
故选：B．
2. 已知向量，若与共线，则（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】A
【解析】因为向量，
若与共线，则，解得.
故选：A.
3. 已知在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得.
故选：B.
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
∴，
∴，
∴函数的定义域为.
故选：B.
6. 已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
又扇形的面积，将上式代入，得，
当且仅当时，有最大值1．
故选：A．
7. 已知为的重心，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】为的重心，
.
故选：B．
8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
在中，，
在中，，
则，
由正弦定理，得，所以，
在中，.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，定义域，，所以偶函数，故B正确；
对于C，定义域，，
所以奇函数，故C错误；
对于D，定义域，，所以偶函数，故D正确.
故选：BD.
10. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ）
A. 当时，有两解 B. 当时，有一解
C. 当时，无解 D. 当时，有两解
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理得，即，所以，
又因为，所以或，有两解，故A正确；
对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；
对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.
故选：AC.
11. 已知是平面内两两不共线的向量，且则（ ）
A. B.
C. D. 当时，与的夹角为锐角
【答案】ACD
【解析】A选项，由两边平方，得所以
所以，A正确；
B选项，由得所以
所以，所以．B错误；
C选项，由不共线可得，故
所以，C正确；
D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，
要使与的夹角为锐角，则
即所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则实数____.
【答案】
【解析】因为，所以，即，解得.
13. 若，则 _____.
【答案】
【解析】因为，
则.
14. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.
【答案】
【解析】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接，
由图形的对称性知
，
则，
的周长，当且仅当四点共线时取等号，
，
周长的最小值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，满足，，．
（1）若与的夹角为，求的值；
（2）求在方向上的投影向量的模．
解：（1）因为，
所以，
因为，，所以，所以．
（2）因为，所以，
所以向量在方向上的投影向量的模为：．
16. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，求的周长.
解：（1）由正弦定理知，
在中，，
所以.
又，，可得，
所以.
（2）由题意可知的面积.
因为，所以.
由余弦定理，
可得，即，
所以，所以，
故的周长为12.
17. 函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）由最值得，
由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即，
此时，
图象的一个最高点坐标为，代人得，
则，即，
又因为，所以，
故.
（2）由题意得，
因为，所以，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当，即时，取到最小值，为；
当时，即时，取到最大值，为.
18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）设，求的取值范围．
解：（1）依题意，，
∴，
∴.
（2）由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，
，
在上递增，
所以，，，，
故的取值范围是．
19. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
解：（1）证明：因为，
由正弦定理得，
因，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以.
（2）由（1）知，所以为锐角，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
即.
（3）因为是锐角三角形，所以，
解得，
所以，
由正弦定理得
.
令，则在上单调递增，
而，
所以，
所以.