云南省昭通市镇雄县三校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份云南省昭通市镇雄县三校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵A=xx+2x>1=x2x>0=xx>0，.
故选：B.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：4-x>0ln4-x≥0=ln1，即，解得.
故选：A.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在上单调递增，，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增，
，f3=8-3=5>0，
函数的唯一零点所在的区间是.
故选：B.
4. 角的终边落在射线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意在角终边上取一点，则，
.
故选：A.
5. 已知角的终边位于第四象限，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，且角的终边位于第四象限，
，
则.
故选:B.
6. 已知函数是以4为周期的偶函数，且当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】函数是以4为周期的偶函数，
，
当时，，
，.
故选：C.
7. （ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是定义在上的偶函数，
，.
又，，.
所以，，
.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 以下函数的值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A：，的值域为，A错误；
对于B：由指数函数性质可得，的值域为，B错误；
对于C：由幂函数性质可得，的值域为，C正确；
对于D：由正切函数性质可得：的值域为，D正确.
故选：CD.
10. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：的最小正周期为，当，，
由在单调递增，所以在区间上单调递减，A正确；
对于B：的最小正周期为，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，B正确；
对于C：，当，，
由在不具有单调性，所以在区间上不具有单调性，C错误；
对于D：的最小正周期为，当，有在区间上单调递减，D正确.
故选：ABD.
11. 若函数的最小值为，则实数的取值可能为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】BC
【解析】当时，；
当时：，当且仅当，即时等号，
此时.
当时，，当且仅当，即时等号，此时，
综上，.
若，则，由题，所以；
若，则，由题，所以.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若函数是幂函数，则实数的值为______.
【答案】3或0
【解析】因为是幂函数，则，
解得或.
13. 已知，，则______.
【答案】
【解析】由题意得.
14. 已知函数.若在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以二次函数的图像与轴有两个交点，
因为的对称轴为，
所以：，解得，
的取值范围为.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性.
解：（1），
的最小正周期，
且的最大值是.
（2）函数在区间上单调递减，
证明：，，
在区间上单调递减，而且，
由复合函数的单调性可知：
函数在区间上单调递减.
16. 关于的不等式，其中，.
（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；
（2）若不等式的解集为，且集合中恰有两个整数，求实数的取值范围.
解：（1）由题意，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为2.
的解集为空集，，
又，.
（2）不等式的解集恰有两个整数，且，
因在上单调递减，在上单调递增，
故这两个整数只能是1，2，
因此，解得.
17. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性；
（3）解关于的不等式：.
解：（1）依题意，函数的定义域关于原点对称，
又，是定义在上的奇函数.
（2）在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则
，
，，
，且，，
，，，
在上单调递增.
（3）由（2）知，在上单调递增，
由可得，，解得：，
故不等式的解集为.
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）已知，均为第一象限角，求的值.
解：（1），①
，②
有①，②整理得，
则.
（2）
，
，均为第一象限角，
，
，
.
19. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要.
（1）求；
（2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？
（3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？
解：（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，
水的温度从冷却到需要30min，
则，即，所以.
（2）由题意可知：，，，，
可得，
解得，
所以至少需要等待.
（3）设水的温度由冷却到，需要，
则，解得，
此时电热水壶开始加热，需要加热至，且，
若水的温度由冷却到，可知需要，
显然，则，
所以经过后，此时壶中水的温度是.