云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期5月期中数学试卷（解析版）

这是一份云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期5月期中数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知的内角所对的边分别为，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第5节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确.
故选:C.
2. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得的虚部为，故错误；
，故错误；
，故正确；
虚部不为0的复数不能比较大小，故错误.
故选：C.
3. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，解得.
故选：B.
4. 已知为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则（ ）
A. l至多与m，n中的一条相交B. l与m，n均相交
C. l与m，n均平行D. l至少与m，n中的一条相交
【答案】D
【解析】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行，
若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，
所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交.
故选：D.
5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 7B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因为是关于的方程的一个根，
所以，即，
所以且，解得，，
所以．
故选：D．
6. 在中，内角的对边分别为，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，由，得，
由正弦定理得，所以.
故选：A
7. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A. B.
C. 与共面D. 与异面
【答案】C
【解析】根据题意，画出该正方体的直观图，
A选项，，为等边三角形，与所成的角为，A错误；
B选项，与异面，B错误；
C选项，直线与相交，所以直线与共面，C正确；
D选项，，直线与共面，D错误.
故选：C.
8. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为，则该圆台的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，
则，解得.
过点作，垂足为，则母线
.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ）
A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 一个棱柱至少有5个面
【答案】ABC
【解析】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误；
球没有顶点和棱，B错误；
将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误；
棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确．
故选：ABC．
10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的形状能唯一确定
【答案】AB
【解析】因为，所以，故A正确；
因为，则，故B正确；
由余弦定理，可知为锐角，
但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；
由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.
故选：AB
11. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数D. 若，则
【答案】ABC
【解析】因为，又，所以，A正确；
设，则，所以为实数，B正确；
设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；
若，，则满足，而，D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.
【答案】
【解析】因为复数、对应的向量分别是、，则，，
所以，则向量对应的复数为.
故答案为：.
13. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________.
【答案】
【解析】由题意知向量在向量上的投影向量为，
设，由，得，
故，即，故，
故答案为：
14. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________.
【答案】
【解析】如图，取的中点，的中点，连接，，，，
因为分别为，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
即四边形为截正方体所得截面图形.
由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形，
对角线即为正方体的体对角线，
又，
所求截面的面积.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
（1）解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
16. 如图所示，为四边形的直观图，其中，，，.
（1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
（2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
解：（1）在直观图中，，，，
则在平面图形中，，，，，
于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为.
（2）直角梯形以为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记.
（1）用向量表示向量；
（2）求的值.
解：（1）如图所示，连接，则四边形为平行四边形，
所以，
因为点在上，且，所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，
由题意知，且，
.
18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若点是线段上的一点，且，求的值．
解：（1）易知
由以及正弦定理边化角可得，
，
整理可得.
又，，
所以，，.
（2）
由已知可得，所以为锐角，，，.
设，则，，
在中，由余弦定理可得
，
所以.
在中，由余弦定理可得
.
在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，
平方可得，
整理可得.
所以有，
解得，所以.
又为锐角，所以.
19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．
（1）求证：四点共面；
（2）求证：平面；
（3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．
解：（1）连接，因为点分别为棱的中点，所以，
又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以四点共面；
（2）连接、分别交、于点、，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
（3）因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又，所以，因为，所以.