安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第四次联考数学试卷（Word版附解析）

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时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 记为等差数列的前n项和，若则（）
A. 4B. 2C. D.
2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B. C. 2D.
3. 6名同学到A，B，C三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（）
A 30B. 60C. 120D. 3604
4. 已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（）
A. B. C. 505D. 1013
6. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（）种．
A. 72B. 144C. 384D. 432
7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
8. 已知，分别是双曲线左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（）
A.
B. 已知数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10. 已知曲线，则（）
A. 不经过第二象限
B. 当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等
C. 上点的横坐标的取值范围是
D. 上任一点到直线的距离的取值范围是
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若平面，则点Q的轨迹长度为
C. 存在平面
D. 平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在展开式中，含项的系数为________．
13. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________.
14. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上、下两半部分所成二面角为，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由.
18. 若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）设数列满足，数列的前项和为，若不等式第一切恒成立，求实数的取值范围．
19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．
（1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；
（2）当时，比较与的大小，并证明；
（3）设，证明：．