安徽省阜阳市两校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省阜阳市两校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．
1. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
两圆的圆心距为，所以，
所以两圆的位置关系为外切.
故选：C.
2. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，解得.
故选：A.
3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A.B. C. 3D.
【答案】D
【解析】因为，，与垂直，
所以，解得，
所以，所以.
故选D.
4. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（ ）
A. -1B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】由函数，可得，
则，所以直线的斜率为.
故选：C．
5. 若数列满足，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】∵数列满足，，∴，
∴，，，，
∴是周期为3的周期数列，而，故．
故选：A
6. 已知正项数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，
因此，所以
故选：B
7. 记数列的前项和为，若，则（ ）
A. 590B. 602C. 630D. 650
【答案】A
【解析】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.
故选：A
8. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得，
设过点的直线与曲线切于点，
则切线斜率为，
所以切线方程为
因为切线过点，
所以，整理得，
因为过点的切线有两条，
所以方程有两不同实根，
因此，解得或，
即实数a的取值范围是.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A.
B.
C. 当时，取最大值
D. 当时，的最小值为19
【答案】ABD
【解析】对A，则，
由等差数列性质可得，即.
因，若公差，则，不满足，故，则.
则，故A正确；
对B，由A，，故.
则，则，
又，故，故B正确；
对C，由可得，故当时，取最大值，故C错误；
对D，由，，可得.
故当时，需要满足，故的最小值为19，故D正确.
故选：ABD
10. 已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为4
C. 为定值
D. 存在定点，使得为定值
【答案】ACD
【解析】直线，
即，
故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2,
，故在圆内，
对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离，
此时最小，，故A正确；
对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心，
方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；
对于C，设，则，
当直线斜率不存在时，，联立圆得，，
此时
当直线斜率存在时，设直线，联立圆，
得，即，
，
，,
带入得：，
故为定值，故C正确；
对于D，中点为，故,且在上，
所以,故是直角三角形，
当为中点时，为定值，故D正确.
故选：ACD
11. 已知抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点（原点除外）反射，则反射光线平行于轴.经过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，经过点且垂直于轴的直线交轴于点；抛物线在点处的切线与轴分别交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于AB，设点，则，，
则，而，
所以，故A错误；
又，则，故B正确；
对于C，如下图所示，过点作轴的平行线，与抛物线的准线交于点，
又题意所给抛物线的光学性质可得，
又，所以，从而，故C正确；
对于D，因为，所以，即为的角平分线，
又由抛物线定义知，结合，可得四边形为菱形，
而轴经过线段中点，从而与轴的交点即为点，所以，故D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________．
【答案】3
【解析】等比数列中，，
由，
得，由，得，
所以．
故答案为：3．
13. 已知曲线与直线相切，则______.
【答案】
【解析】由，得，
设切点为，
则，，
消去得，
函数在区间上单调递增，且，
，此时.
故答案为：
14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，，
又，解得，
由①，
则当时，②，
两式①②相减得，，
即，又，则，
所以数列是以为首项，的公差的等差数列，
故，
则
令，
又
则数列是递增数列，且；
数列是递减数列，，
若恒成立，
且恒成立，
所以，且，解得，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数的解析式；
（2）设，求曲线的斜率为的切线方程．
解：（1）对求导，可得.
把代入，得到. 解得.
把代入，得到.
（2）已知，把代入可得. 对求导，可得.
因为曲线切线斜率为，所以令，即.
解得或.
当时，.
当时，.
当切点为，切线方程为，整理得.
当切点为，切线方程为，整理得.
综上所得，的斜率为的切线方程为或.
16. 如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且．
（1）若，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
解：（1）∵在四棱锥中，平面，
∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
∵点M是棱上一点，，，．
∴，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
∵平面，∴平面．
（2），
设平面的法向量，
则，取，得，
又为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则
则，则
∴二面角的正弦值为．
17. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
解：（1）当时，，
即，解得．
因为（），
所以（），
又（，），，
所以（），
又，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
当时，，
当时，，满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以．
18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）设双曲线的焦距为，
由题意得，，
解得，故双曲线的方程为．
（2）由题意得，，
当直线的斜率为零时，则．
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，
点，
联立，整理得，
则，
解得且，
所以，
所以
．
综上，，为定值．
19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
（3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
解：（1）依题意
故
因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列.
故当为偶数时，
.
当为奇数时，.
综上所述，
（2）充分性：因为，所以，
所以，
又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列，
故是的充分条件.
必要性：假设为等比数列，而不为常数列，
则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，
所以，
则等比数列的公比为.
又，得等比数列的公比为，与式矛盾，
所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，
故是的必要条件.
综上，可知是的充要条件.
（3）当时，，当时，，
当时，，当时，.
综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.
又由题意可知，所以，
所以，故的最大值为，
此时的通项公式可以是