安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ）
A. B. 0.72C. D. 0.85
2. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ）
A. B. C. 640D. 1280
4. 点在圆上运动，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
6. 已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 如图，已知异面直线成角，公垂线段长度为2．线段两个端点分别在直线上移动，且线段的长度为4，则线段中点的轨迹的离心率为（ ）
A B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为
10. 已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（ ）
A. 的虚轴长为B. 的离心率为
C. 的最小值为D. 直线的斜率不等于
11. 甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有（ ）

A. 若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点
B. 经过4次移动后仍在点的概率为
C. 若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点有5条不同笔迹
D. 经过3次移动后，到达点的条件下经过点C的概率为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 等差数列的前项和为，，则_____
13. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
14. 若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列的前项和为，满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，是侧面上一点．
（1）过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面交线，并证明；
（2）设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．
17. 已知函数
（1）若求的单调区间;
（2）若在上不单调，求的取值范围.
18. 已知过，两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线E的一部分.
（1）求曲线标准方程；
（2）已知点，，过点的动直线与曲线交于两点，设的外心为 为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.
19. 已知数列为个数的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质T．
（1）当时，写出4个具有性质T的数列A；
（2）若数列和均为等差数列，且，证明：对于所有的偶数项数列不具有性质T；
（3）在所有由的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为，证明：对于任意．
2024-2025学年阜阳三中高二年级第二学期一调考试数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ）
A. B. 0.72C. D. 0.85
【答案】A
【解析】
【分析】根据线性相关性的特征和线性相关系数的概念意义可解．
【详解】线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是．
故选：A.
2. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系.
【详解】因为为等比数列，故为等比数列，且三者同号，
若，则由可得，故甲是乙的充分条件；
若，则由及可得，故甲是乙的必要条件；
故甲是乙的充要条件，
故选：C.
3. 已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ）
A. B. C. 640D. 1280
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出两个二项式展开式中的系数即可得解.
【详解】依题意，展开式中项为，其系数为，
展开式中项，其系数为，由展开式中的系数为0，得，
所以.
故选：A
4. 点在圆上运动，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可.
【详解】设，则，
因点在圆上运动，且在直线上，
则直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，得或，
故的取值范围是.
故选：D
5. 在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点，因为可得点P的轨迹是以为圆，以为半径的圆，进而求出点P到直线的最大距离即可求得面积的最大值.
【详解】设点，因为，所以，
整理得，
所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以点P到直线的最大距离，
所以面积的最大值为．
故选：C.
6. 已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正三棱锥性质求得侧棱长， 即可判断正三棱锥是正四面体，当球与正四面体的四个面都相切时，球的体积最大，利用等体积法计算即可得出结果.
【详解】底面的外接圆半径，
即正三棱锥的侧棱长，则正三棱锥是正四面体，
当球与正四面体的四个面都相切时，球的体积最大，
由等体积法得球的半径为
，即，
所以球体积的最大值，
故选：A.
7. 已知为正实数，直线与曲线相切，则最小值为（ ）
A 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义及条件可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】设切点为，则由题可知，
故，即，又，，
所以，即，
将代入得，
故当时，取最小值为.
故选：D.
8. 如图，已知异面直线成角，公垂线段长度为2．线段两个端点分别在直线上移动，且线段的长度为4，则线段中点的轨迹的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点分别作直线，，以为坐标原点，直线所成的角平分线所在直线作轴，直线所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，，利用距离公式可得，再设线段中点坐标为，利用中点坐标公式可得的轨迹方程，进而求离心率即可.
【详解】设线段中点为，过点分别作直线，，
以为坐标原点，直线所成的角平分线所在直线作轴，直线所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
其平面如图，
则，，设，，
则，即，
设线段中点坐标为，则，可得，
所以，整理得，
所以的轨迹为椭圆，离心率，
故选：B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二项分布的方差公式计算出方差，再由方差的性质计算判断A，根据方差的定义求解判断BD，根据正态分布的性质判断C．
【详解】解：对于A，由，得，则，故A正确;
对于B，由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n，
则，
当且仅当时，故B错误;
对于C，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故C错误；
对于D，加入数据5后，平均数为，则这5个数据的方差为，故D正确.
故选：AD．
10. 已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（ ）
A. 的虚轴长为B. 的离心率为
C. 的最小值为D. 直线的斜率不等于
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件得到，即可求出虚轴长和离心率，从而判断出A和B的正误；对于C，求出到直线的距离，即可求解；对于D，求出过点且斜率为的直线，并判断与直线的位置关系，即可求解.
【详解】因双曲线的渐近线为，由题有，得到，
对于A，因为虚轴长为，正确，
对于B，因为的离心率为，正确，
对于C，因为直线，，所以到直线的距离为，
所以的最小值为，错误，
对于D，因为过点且斜率为的直线方程为，
即与直线平行，又是上一点，
所以直线的斜率不等于，正确，
故选：ABD.
11. 甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有（ ）

A. 若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点
B. 经过4次移动后仍在点的概率为
C. 若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点有5条不同笔迹
D. 经过3次移动后，到达点的条件下经过点C的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A.沿等路线即可判断；
对于B.分若存在重复路线和若不存在重复路线讨论，结合组合数公式计算判断；
对于C.运用列举法：分先第一次移动到和第一次移动到讨论计算共有5条路径；
对于D.先考虑重复路线：前两条路线重复：可能第一次移动到达共3条路径，后两条路径重复（即第一次移动到）同理有3条路径，其中重复，故共只有5条路径；再考虑不重复路径：只有1条路径，结合条件概率计算即可.
【详解】对于选项A，沿等路线即可，故A错误；
对于选项B，若存在重复路线，两次移动回到点可以第一次移动到达点，，C，第三次移动再从这些移动方式中选，共有9种走法，另外可以先移动两次再原路返回，第一次移动可能到达点，，C，每个点在第二次移动时都有两种移动方式，故有6种方式；
若不存在重复路线，经过点C由四条棱组成的闭合回路只有和两种，每条路都有两种经过方式，共有4种方式；
所以概率为，故B正确；
对于选项C，列举法：，，，，，故共有5条不同笔迹，故C正确；
对于选项D，先考虑重复路线：
前两条路线重复，第一次移动到达点，，C共３条路径；后两条路径重复（即第一次移动到点）同理有３条路径，其中重复，故共只有5条路径；
再考虑不重复路径：只有，1条路径，
∴三次移动后到达点有6条路径.记事件：从点出发，三次移动后到达点；事件C：从点出发，三次移动时经过点C，
故，，故，故D确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 等差数列的前项和为，，则_____
【答案】24
【解析】
【分析】由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】.
故答案为：
13. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果.
【详解】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种
故答案为：.
14. 若时，关于不等式恒成立，则实数最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
对分类讨论，当时，不等式显然恒成立. 当时，对不等式进行变形为，然后构造函数，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数，即可求出的范围，进而求出的最大值.
【详解】当，时，不等式显然恒成立.
当时， .
由于，即.
所以原不等式恒成立，等价于恒成立.
构造函数，.
易知在上单调递减，在上单调递增.
则原不等式等价于要证.
因为，要使实数的最大，则应.
即. 记函数，则.
易知，.
故函数在上单调递减，所以.
因此只需.
综上所述，实数的最大值是.
故答案为：
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
(3)根据不等式构造函数，由函数的单调性化简所求的不等式是本题关键之步.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列的前项和为，满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）11
【解析】
【分析】（1）根据与的关系化简求解即可；
（2）根据等比数列的通项可求得，进而结合分组求和法求得，再根据递增数列的性质求解即可.
【小问1详解】
由，①
当时，，即；
当时，，②
则①②得，，
则，即，
所以数列是等比数列，首项为1，公比为.
【小问2详解】
由（1）得，，即，
则，
则，
因为在为增函数，
则数列为递增数列，
又，，
所以满足的最小正整数的值为11.
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，是侧面上一点．
（1）过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并证明；
（2）设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）答案和证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理分别在几何体表面作出与平行的直线即可求解；
（2）根据表示出点的坐标，再求出平面的法向量，从而表示得与平面所成角的正弦值，解方程求解.
【小问1详解】
过点作的平行线，分别交于点，
过作的平行线，交于点，过作的平行线交于点，
则截面为所求截面，证明如下：
因为截面,截面,所以截面,
因为截面,截面,所以截面.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
且，所以以为坐标原点，为轴建系如图，
则
所以，
所以，
又因为，所以，
设平面的法向量为，
所以令，
所以，
设与平面所成角为，
则，
整理得，解得（舍），.
17. 已知函数
（1）若求的单调区间;
（2）若在上不单调，求的取值范围.
【答案】（1）上单调递增区间为单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，令即可求解；
（2）求导可得，设，则，解之即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，
，
令或，或，
在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
，
设，
注意到，要使在上不单调，
只需满足，解得，
即实数的取值范围为.
18. 已知过，两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线E的一部分.
（1）求曲线的标准方程；
（2）已知点，，过点的动直线与曲线交于两点，设的外心为 为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值.
【解析】
【分析】由抛物线的焦点P到两定点A，B的距离之和等于点A，B到抛物线的准线的距离之和，满足椭圆的定义，根据定义求出即可.
设出直线方程,与轨迹的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,由直线与直线的斜率之积进行化简即可.
【小问1详解】
由题意知抛物线的焦点P到两定点A，B的距离之和等于点A，B到抛物线的准线的距离之和，等于的中点O到准线的距离的2倍，即等于圆的半径的2倍，
∴，
∴点P在以A，B为焦点的椭圆E上，
设椭圆E的标准方程为，
则，，
∴，，∴，
∴曲线E的标准方程为.
【小问2详解】
设直线：，
由
∴.
设，，则，，
的中点坐标为，，
的垂直平分线的斜率为.
∴的垂直平分线方程为，即，
由得，
∴的垂直平分线方程为.
同理的垂直平分线方程为.
设点，
则，是方程，
即的两根，
∴
两式相除得，∴.
∴，
即直线与的斜率之积为定值.
19. 已知数列为个数的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质T．
（1）当时，写出4个具有性质T的数列A；
（2）若数列和均为等差数列，且，证明：对于所有的偶数项数列不具有性质T；
（3）在所有由的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为，证明：对于任意．
【答案】（1）4个具有性质T的数列可以为：；；；.
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列新定义写出答案即可；
（2）由数列都是等差数列，可以得到，从而证明；
（3）设数列为任意一个不具有性质T的数列，通过数列平移得到新数列，从而得到满足题意得和不满足题意的数列个数，再结合概率知识计算即可
【小问1详解】
数列：.分析：在这个数列中，，满足在集合中至少有一个元素使得，所以该数列具有性质.
数列：.分析：其中，满足性质的条件.
数列：.分析：这里，符合性质.
数列：.分析：，具有性质.
【小问2详解】
因为数列和均为等差数列，且，，所以数列，
所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数，
所以当为偶数时，在集合中不存在元素使得，
故对于所有的偶数，数列不具有性质
【小问3详解】
设在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，
设数列为任意一个不具有性质的数列，
因为为的一个排列，
所以在中有且仅有一项，使得.
在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序保持不变，
得到新数列，新数列为的一个新排列，
显然数列具有性质，且任意一个与不同不具有性质的数列通过上述移动首项方法都得不到数列.
结合数列为任意一个不具有性质的数列，且根据可以构造一个符合题意的具有性质的数列，可得.
又因为数列具有性质，
且任何一个不具有性质的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列，
所以.
根据概率知识知道，对于任意.
则原命题成立.
【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.