河北省承德市第一中学2024-−2025学年高一下学期4月份月考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省承德市第一中学2024-−2025学年高一下学期4月份月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，且，则的值为（ ）
A．-6B．6C．D．
2．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的方程有一根为1，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
10．在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象
D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是
三、填空题
12．若，则 ．
13．已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为 ．
14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 ．
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求
（2）若，的面积为，求a的值.
16．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的值；
(3)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围．
17．已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求满足不等式的x的取值范围.
18．已知向量，且与的夹角为，
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值．
19．如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，

（1）若·=32，求的长；
（2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】已知向量，，
因为，
所以，
解得
故选A
2．【答案】A
【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由，则，
又，，
而
.
故选D.
4．【答案】D
【详解】用弧度制可表示为，
所以与角的终边相同的角构成的集合为
故选D．
5．【答案】C
【详解】因为，，设，
则，即，解得，
建立平面直角坐标系，如图所示．
设，，，
则，，，，，
因为，所以，
则，
所以的最大值为．
故选C．
6．【答案】A
【详解】因为1是的根，
所以，
又，
所以有，，
整理可得，，即.
因为，，，所以.
则由可得，，所以.
所以一定是等腰三角形.
故选A.
7．【答案】D
【详解】因为是增函数，则，
又在上单调递增，所以，
因为在区间上单调递减，所以，且，所以，
故选D.
8．【答案】C
【详解】，，，
又，，
，，
，，
，，
则
，
故选C．
9．【答案】BCD
【详解】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
故选BCD
10．【答案】AD
【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确.
【详解】如图所示，等腰直角中，，，
对于A中，由，
所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，
所以，所以C错误；
对于D中，由，
所以，所以D正确.
故选AD.

11．【答案】AC
【详解】由函数图象可得，
函数的周期满足，则，
故，解得，所以.
又函数过点，即，则，
所以，，即，，
又，所以，所以.
由前面计算已求得，故A正确；
对于B，若函数的图象关于点对称，则.
计算，
所以的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位得到：
，故C正确；
对于D，当时，，
令，则，.
当时，在上单调递增，在上单调递减；
又，，.
因为的图象与有且只有一个实数根，
所以的取值范围是，故D错误.
故选AC
12．【答案】/0.25
【详解】由已知.
13．【答案】9
【详解】由得平分．因为，
故由，可得，
化简得，即，
则．
因为，故，
当且仅当，即时，等号成立，
此时取得最小值9．
14．【答案】
【详解】由题意得，
故，
故中，由正弦定理得，
即，解得，
又在点测得山顶的仰角为，故，
故.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由条件及余弦定理得，，
可得， 所以．
（2）由得，，
又，所以，
则，．
可得，
由的面积为得，
所以．
由正弦定理得，，
所以，故.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再由及二倍角公式计算可得；
（3）首先求出解析式，依题意可得与在上有两个交点，分析在上的单调性与取值，即可求出的范围.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期；
（2）由，得，即，
故
.
（3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到，
再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到
，
所以，
因为函数在上有两个零点，
即与在上有两个交点，
因为，故，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
且当时，当时，
当时，
所以，解得，
故函数在上有两个零点，实数的取值范围为.
17．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）
=
=，
令，解得
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
令，则，所以
所以不等式为，得，即
由，解得，所以解集为.
18．【答案】（1）证明见解
（2）或
（3）
【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
因为，
所以，即，
于是有，即
，解得或,
所以的值为或.
（3）由（1）知，，
因为
所以，
，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，解得或（舍）,
所以的值为.
19．【答案】（1）4
（2）－
【详解】（1）,∴是在方向上的投影向量,
∴·＝,即；
法二：，∴·||·||||·||，
即；
（2）在中，＝，
所以，
＝＝，
因为，所以，,
以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:

易知因为E为中点，
所以，
，，,
∵＝x＋y,∴
，解得：，所以：
法二：
在中，＝，
所以，
＝＝，
因为，所以，,
因为，所以，
又∵
由平面向量基本定理得：
，解得：，所以：