河北省邢台市2025届名校协作高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版）

这是一份河北省邢台市2025届名校协作高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
又，所以.
故选：B.
2. 若，则复数z的虚部是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，
所以复数z的虚部是.
故选：B.
3. 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，
故选：A.
4. 已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（ ）
A. 3B. 18C. 54D. 152
【答案】C
【解析】由题设得，作差可得，即，
又为等比数列，故其公比为3，且，即，
所以.
故选：C
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴.
∵，∴，
∴，即，
解得或（舍），
∴.
故选：C.
6. 设函数，则不等式的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，即为偶函数，
当时与，与均在上单调递增，
所以与均在上单调递增，
所以在上单调递增，则不等式等价于，
即，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
7. 已知，若，则（ ）
A. B. C. 15D. 35
【答案】A
【解析】令，可得，解得，
，
展开式中的系数为.
故选：A.
8. 存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】存在,不等式成立，变形即成立，
由于，
因此有，
两边平方，
解得或.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ）
A. B. 的虚轴长为
C. D. 的一条渐近线的斜率为
【答案】AB
【解析】由，知，，，
由，得，即，，
所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误；
由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误．
故选：AB．
10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A. 为函数图象的一条对称轴
B.
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象与函数的图象交点个数为5
【答案】ACD
【解析】对于A，将函数的图象向左平移个单位，
可得到函数的图象，
则，
所以为函数图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，
而在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，对于，其周期为，最大值为，
令，则，
令，则，且，
因为的定义域为，且，
作出与在上的大致图象，如图，
结合图象可知，的与函数的图象交点个数为5，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于两点，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，由定义知，A正确；
对于B，由点在上，得，
化简得，解得，，B错误；
对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与，
则，由，得，
则，，C正确；
对于D，设，则，而，则，
又，
则，化简得，解得，，
因此1，，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量，满足，，则_______．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
13. 已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为__________.
【答案】
【解析】如图作出圆锥的轴截面，根据题意可知,
,
所以可得,
根据三角形相似可得,
所以,可求得,
根据圆柱侧面积公式可得.
故答案为：

14. 已知，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
故.
又因为，故，从而，这就得到.
而当，时，有，且.
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某社区组织居民开在垃圾分类知识竞赛活动.随机对该社区名居民的成绩进行统计，成绩均在内，将成绩分成组进行统计分析：第组有人，第组有16人，第组有人，第组有人，第组有人.现使用分层随机抽样的方法在第，组共选取人参加垃圾分类志愿者工作.
（1）对该社区名居民进行问卷调查，部分数据如下表所示，补全表格数据，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为居民喜欢垃圾分类与性别有关；
（2）若从参加垃圾分类志愿者工作的人中随机选取人参加垃圾分类知识宣讲工作，记来自第组的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，.
解：（1）补充列联表如下所示，
零假设：居民喜欢垃圾分类与性别无关，
则，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为喜欢垃圾分类与性别有关；
（2）用分层随机抽样的方法在第，组抽取的人数分别是，，
所以可能的取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
.
16. 已知函数．
（1）时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）由题意可知，，
即恒成立，即，恒成立，
设，，
设，，
，
设，所以，得（负值舍去），
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的最大值为，即恒成立，
所以单调递减，且，
所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，
所以最大值为，
所以.
17. 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：因为为直棱柱，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为中点，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，
又平面的法向量，
记二面角为，则，
则，
即二面角的正弦值为．
18. 已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
解：（1）设M(x，y)，由＝，得＝，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，
故曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，
则线段CP的中点的坐标为，|CP|＝，
故以线段CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①．
由题意知，Q、R在以CP为直径的圆上，
又Q、R在圆x2＋y2＋2x－3＝0②上，
由②－①，得4x＋py＝0，
所以弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，可得QR恒过坐标原点O(0，0)．
由得(16＋p2)y2－8py－48＝0，
设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1＋y2＝，
所以点N的纵坐标＝＝，
因为p≠0，所以≠0，所以点N与点C(－1，0)，O(0，0)均不重合．
因为N为弦QR的中点，且C(－1，0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON，
所以点N在以OC为直径的圆上，该圆的圆心为G，半径为．
因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，
所以E(2，0)，F，因此|EF|＝，
圆心G到直线3x＋4y＝6的距离d＝＝．
设△NEF的边EF上的高为h，
则点N到直线3x＋4y＝6距离h的最小值为d－r＝－＝1；
点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝＋＝2．
所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝．
因此△NEF的面积S的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）若，证明：；
（2）记数列的前项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，，，证明：.
（1）证明：设，当时，，
所以在上为增函数，故当时，，
所以当时，
设，当时，，
所以在上单调递增，故当时，，
所以当时，
故当时，
因为，当时，，
所以在上为增函数，
因为当时，，且由，
可得，所以，即，
所以
（2）解：（i）因为，
所以，
则，
所以，
即，
所以
（ii）函数，
因为当时，，
所以当时，，
所以当时，，
因此，
故，即
因为，
所以当时，，
综上，，所以，
所以，
即.
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