河北省邢台市2024届高三下学期一模数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省邢台市2024届高三下学期一模数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 20
4. 已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
5. 函数零点的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设集合，则（ ）
A.
B. 的元素个数为16
C.
D. 子集个数为64
10. 已知内角对边分别为为的重心，，则（ ）
A. B.
C. 的面积的最大值为D. 的最小值为
11. 已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则________，该直线的方程为________．
13. 4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________．
14. 在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
16. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
（1）求数列的公差；
（2）若，求数列的前n项和．
17. 小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．
（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？
18. 双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，
（1）求双曲线的方程，
（2）已知，过点直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，
19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.邢台市2024年高中毕业年级教学质量检测（一）
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的运算化简后求出即可.
【详解】，
所以在复平面内，对应的点位于第三象限.
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角余弦公式和诱导公式化简即可.
【详解】，
故选：B
3. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由回归方程的性质求出即可.
【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，
因为所以，
则，
又这两对数据为，
所以，
所以，
所以
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.
4. 已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
【答案】D
【解析】
【分析】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解.
【详解】依题意，设，则，
因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
所以的方程为，即，即，
所以，故D正确，显然ABC错误.
故选：D.
5. 函数零点的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】将零点问题转化为交点问题，利用函数性质判断即可.
【详解】令，可得，
则函数零点的个数为与的交点个数，
显然与均关于对称，
又当时，，当时，，
再结合两个函数的图象，可得与有5个交点，
故函数零点的个数为5，故C正确.
故选：C
6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B
7. 如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案.
【详解】正四棱台容器的高为12cm，，，
正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，
其体积为；
放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，
其中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm，是水的高为9 cm，
由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm，

此时水的体积为，
放入的57个球的体积为，
设小铁球的半径为，则，解得.
故选：A
8. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用焦半径公式将所求弦长用三角函数表示，再利用三角函数性质求出取值范围即可.
【详解】
首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，
如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，
则，
解得，同理可得，
如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，
则，
而，可得，故，故A正确，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设集合，则（ ）
A.
B. 的元素个数为16
C.
D. 的子集个数为64
【答案】BCD
【解析】
【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为，
所以，即，
所以有个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）
A. B.
C. 的面积的最大值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD．
【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以最小值是，D错．
故选：BC．

11. 已知函数和函数定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数对称性的定义判断A，利用周期性的定义判断B，利用给定区间的函数解析式求解未知解析式判断C，利用周期性对函数求和判断D即可.
【详解】由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确.
由可得又,
所以可知的图象关于对称，
所以，
所以是周期为4的周期函数，
则故B错误.
当时,
又因为
所以
即在区间上的解析式为故C错误.
因为，，
所以，
所以，
所以.故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则________，该直线方程为________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可.
【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，
则一定在圆上，可得，
解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，
又直线斜率为，设该直线的斜率为，
显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，
化简得直线方程，
故答案为：1；
13. 4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________．
【答案】144
【解析】
【分析】采用分步乘法原理和排列计算结合插空法求出.
【详解】4名男生先排，共有种，
2名女生再排，共有种，再将2名女生插空到男生中，要求最左边，中间，最右边，共有3种，
所以一共有种，
故答案为：144.
14. 在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】分析题意，将题目转化为求外接球半径与点到球心距离和的问题，求解即可.
【详解】若底面ABC是边长为6的正三角形，
则外接圆的半径为，内切圆半径为，
设三棱柱外接球的半径为，且已知，
可得，解得，
设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为，
故，则的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定取得最大值的情况，然后将目标式合理转化，得到所要求的线段和即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质结合勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明另一组线面垂直即可.
（2）建立空间直角坐标系，先求出平面AEF的法向量，再求出面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可.
【小问1详解】
分别为的中点, 平面，
面，
平面
【小问2详解】
以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面AEF的法向量为可得，故，
令则解得，，得到平面的一个法向量为
易得平面的一个法向量为
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
16. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
（1）求数列的公差；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质得到方程，求解公差即可.
（2）得到所需求和的数列，再利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设数列的公差为，则
因为是等差数列，所以为常数，
所以解得，即公差为.
【小问2详解】
因为所以
可得，
故
17. 小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．
（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？
【答案】（1）0.6 （2）6
【解析】
【分析】（1）由独立事件的乘法概率求出即可；
（2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设，利用组合数的性质求出即可.
【小问1详解】
设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，
由题意可得，
所以，
所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.
【小问2详解】
由（1）可得，
设，
即，
所以，
即，
解得，
又，所以时，最大.
18. 双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，
（1）求双曲线的方程，
（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，
【答案】（1）
（2）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于的方程，解之即可得解；
（2）假设直线方程，联立双曲线方程得到，再由题设条件得到直线与的方程，推得两者的交点在定直线上，从而得解.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
故双曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去，得，
则，，
设，则，
又，
直线，直线，
联立，
两式相除，得
，
即，解得，
所以点在定直线上，
因为直线与直线之间的距离为，
所以点到直线的距离为定值，且定值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；
（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；
（3）设对应的切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，
满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．
【小问1详解】
不是，理由如下：
由已知，由解得，，
又，，不妨设切点为，，
在点处的切线的方程为，即，
在点的切线方程为，即与直线不重合，
所以直线不是曲线的“双重切线”．
【小问2详解】
由题意，函数和都是单调函数，
则可设切点为，且，
所以在点处的切线的方程为，
在点的切线方程为，
所以，消去得，
设（），
则，所以是减函数，
又，所以在时只有一解，
所以方程的解是，从而，
在点处切线方程为，即，
在点处的切线方程为，即，
所以“双重切线”方程为；
【小问3详解】
证明：设对应的切点为，，对应的切点为，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，，其中，
所以，
又，，
即，，
时，，，
令（），则，，
在上单调递减，又，所以，
所以，此时，则，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．