河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价数学试卷（解析版）

这是一份河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．，能与合并，不符合题意；
B．不能与合并，符合题意；
C．，能与合并，不符合题意；
D．能与合并，不符合题意；
故选：B．
2. 如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可以用代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】图中阴影部分的面积可以用代数式表示为，
故选：B．
3. 下列说法或运算中，正确的是（ ）
A. 在中，，，分别是，，的对边，若，则
B. 是最简二次根式
C. 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
D.
【答案】C
【解析】A、在中，，，分别是，，的对边，若，则，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故C正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质，可得，
则；
故选：D．
5. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】A、，，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，，，是勾股数，故本选项符合题意；
D、，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 已知，则的值为（ ）
A B. 5C. D. 7
【答案】B
【解析】，
，
，
，
故选：B．
7. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，列式可得：，
故选：A．
8. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴
，
当，时，原式，
故选：B．
9. 《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，设秋千绳索的长为尺，
则；
故选：C．
10. 如图，在等边三角形中，点A，分别在轴，轴上，，当点A在轴正半轴上运动时，点也随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】过点作于点，连接，，
∵是等边三角形，，
∴是的中点，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，．
∴点到原点的最大距离是．
故选：B．
二、填空题
11. 若要使二次根式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】根据题意可得：，解得：，
故答案为：．
12. “如果，那么，”的逆命题为：_____．
【答案】如果，，那么
【解析】“如果，那么，”的逆命题为：如果，，那么．
故答案为：如果，，那么．
13. 如图，数轴上有一个边长为1的正方形，其中点A，表示的数分别为，，以点为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点A的左侧于点，则点表示的数为_____．
【答案】
【解析】在中，，
根据题意，可得：，
因为点表示的数为：，
故点表示的数为；
故答案：．
14. 如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为_____．
【答案】
【解析】第1次，；
第2次，；
第3次，；
第4次，；
第5次，；
第6次，；
故答案为：．
15. 2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点A处缠绕到圆柱的点处（点A在下底面，点在上底面，点在点A的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为_____．
【答案】
【解析】圆柱体的侧面展开图如图所示，
最短长度为
．
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，七架镭影Q20无人机化作“空中守护者”，为亚冬会期间的交通安全提供保障．某小学为了让师生近距离感受无人机的神奇魅力，邀请创新科普团队走进校园，开展无人机展示活动．如图，操作人员控制的无人机升到距离地面高的点处（），发现空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得，点A与点之间的水平距离，已知于点，，A，，，，在同一平面内，求风筝距离地面的高度．
解：，
．
，，
在中，根据勾股定理，得
．
，
．
．
答：风筝距离地面的高度为．
18. 已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
19. 如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长．
解：由折叠可知，，，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
．
20. 给出一个新的数学概念：若，则与的平均数是，我们称与是关于的平衡数．例如：，，则称与是关于的平衡数．请仔细阅读上述材料，并解答问题．
（1）与_____是关于的平衡数；
（2）若，试判断与是否是关于的平衡数，并说明理由．
解：（1），
故答案为：．
（2）与是关于1的平衡数，
理由如下：
由题意可得，
，
，
与是关于的平衡数．
21. 年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．
解：（1）．
理由如下：
由题意可知，，点在点的正东方处，
即．
，
是直角三角形，．
；
（2）由题意可知，．
在中，由勾股定理，得
．
．
而．
，
．
小亮跑的路线更短．
22. 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）
，（是的面积）
，（是的面积）
…
（1）请用含有（为正整数）的式子填空：_____，_____；
（2）在线段，，，，中，长度为正整数的线段共有_____条；
（3）求的值．
解：（1）观察所给式子：，，，…
以此类推，可得．
对于，，，…
以此类推，可得（n为正整数）．
故答案为：n，．
（2）∵，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
当（k为正整数）时，，
∵，，
∴1到2025有45个完全平方数，
∴线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有45条．
故答案为：45．
（3）原式
．
23. 数学兴趣小组发现这样一个模型：它由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
【操作探究】
已知：和都是等腰直角三角形，，，上的点在上沿着射线的方向运动．
（1）如图1，当点在线段上运动，且时，连接，求的长；
（2）如图2，当点运动到的延长线上，且时，的长为_____；
【迁移探究】
（3）如图3，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长．
解：（1）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴．
在中，根据勾股定理，得
．
（2）连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴．
（3）作，
∵是等腰直角三角形，，，
∴垂直且平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点E、C、O一条直线上，
∴，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．