2023-2024学年河南省商丘市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式xx+6有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠6B. x≠0C. x≠−16D. x≠−6
2.下列计算正确的是( )
A. m5+m5=m10B. (m3)4=m12C. (2m2)3=6m6D. m8÷m2=m4
3.下列各分式中，是最简分式的是( )
A. x2+y2x+yB. x2−y2x+yC. x2+xxyD. xyy2
4.若多项式x2+mx+36因式分解的结果是(x−2)(x−18)，则m的值是( )
A. −20B. −16C. 16D. 20
5.已知点P关于x轴对称的点的坐标是(−5,−4)，则点P关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (−5,4)B. (−5,−4)C. (5,4)D. (5,−4)
6.若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为( )
A. −4B. 16C. −4或−16D. 4或16
7.如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在( )
A. C点
B. D点
C. E点
D. F点
8.小明上月在某文具店正好用20元买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇该店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，如果小明只比上次多用了4元钱，却上次多买了2本，若设上次买了x本笔记本，则列方程为( )
A. 2.1x+2−20x=1B. 20x−24x+2=1C. 24x−20x+2=1D. 20x+2−24x=1
9.化简x2x−1+x1−x的结果是( )
A. xB. x−1C. −xD. x+1
10.已知关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为正数，则k的取值范围为
( )
A. −2−2且k≠−1
C. k>−2D. k<2且k≠1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知：m+2n+3=0，则2m⋅4n的值为______．
12.一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为______．
13.华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，将数0.000000007用科学记数法表示为______．
14.分解因式：a2b−9b=______．
15.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−8,3)，点B的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算．
(1)计算：(m+2)(m−2)−(3m2n−6n)÷3n．
(2)分解因式：(a−4)(a+1)+3a．
17.(本小题8分)
先化简、再求值：x2−1x2−2x+1÷x+1x−1⋅1−x1+x，其中x=(12)−1+30．
18.(本小题10分)
解分式方程：
(1)5x+2x2+x=3x+1；
(2)x−1x−3+23x−x2=1．
19.(本小题9分)
某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
(1)问第二次购进了多少件文具？
(2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部.给出下列信息：①AB//CE；②CE平分∠DCA；③AC=BC.请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由．
21.(本小题9分)
如图，已知锐角△ABC．
(1)尺规作图.作AC边的垂直平分线交BC于点D；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB=DC，∠B与∠C有什么关系？并说明理由．
22.(本小题9分)
如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．
(1)PC=______cm(用含t的代数式表示)．
(2)如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出口的值；若不存在，请说明理由．
23.(本小题11分)
综合与实践．
在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解．
如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ABCD.判断四边形ABCD的形状：______筝形(填“是”或“不是”)．

(2)性质探究．
如图2，已知四边形ABCD纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．
(3)拓展应用．
如图3，AD是锐角△ABC的高，将△ABD沿AB边翻折后得到△ABE，将△ACD沿AC边翻折后得到△ACF，延长EB，FC交于点G．
①请写出图3中的“筝形”：______(写出一个即可)．
②若∠BAC=50°，当△BGC是等腰三角形时，请直接写出∠BAD的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：要使分式xx+6有意义，必须x+6≠0，
解得，x≠−6，
故选：D．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、m5+m5=2m5，故本选项不合题意；
B、(m3)4=m12，故本选项符合题意；
C、(2m2)3=8m6，故本选项不合题意；
D、m8÷m2=m6，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘法与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A．x2+y2x+y是最简分式；
B.x2−y2x+y=(x+y)(x−y)x+y=x−y，不符合题意；
C.x2+xxy=x(x+1)xy=x+1y，不符合题意；
D.xyy2=xy，不符合题意；
故选：A．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
4.【答案】A
【解析】【分析】
把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．
此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
【解答】
解：x2+mx+36=(x−2)(x−18)=x2−20x+36，
可得m=−20，
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：∵点P关于x轴对称的点的坐标是(−5,−4)，
∴P(−5,4)，
则点P关于y轴对称的点的坐标是(5,4)．
故选：C．
直接利用关于x轴以及y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵x2+2(m−3)x+1是完全平方式，(x+n)(x+2)=x2+(n+2)x+2n不含x的一次项，
∴m−3=±1，n+2=0，
解得：m=4或m=2，n=−2，
当m=4，n=−2时，nm=16；
当m=2，n=−2时，nm=4，
则nm=4或16，
故选：D．
利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故选：A．
首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
此题考查了最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
8.【答案】B
【解析】解：∵小明本次比上次多买了2本，且设上次买了x本笔记本，
∴本次买了(x+2)本笔记本．
根据题意得：20x−20+4x+2=1，
即20x−24x+2=1．
故选：B．
根据小明两次买笔记本数量间的关系，可得出小明本次买了(x+2)本笔记本，利用单价=总价÷数量，结合本月每本比上月便宜1元，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：原式=x2x−1−xx−1=x(x−1)x−1=x，
故选：A．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵xx−1−k1−x=2，
∴x+kx−1=2，
∴x=2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠−1，
∵x>0，
∴2+k>0，
∴k>−2，
∴k>−2且k≠−1，
故选：B．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
11.【答案】18
【解析】【分析】
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握．
根据：m+2n+3=0，可得：m+2n=−3，据此求出2m⋅4n的值为多少即可．
【解答】
解：因为m+2n+3=0，
因为m+2n=−3，
因为2m⋅4n的
=2m⋅22n
=2m+2n
=2−3
=18
故答案为：18．
12.【答案】12
【解析】本题考查了多边形内角与外角．
根据多边形的外角和为360°及每个外角为30°计算即可．
解：多边形的边数：360°÷30°=12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为12．
13.【答案】7×10−9
【解析】解：0.00000007=7×10−9．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】b(a+3)(a−3)
【解析】解：a2b−9b
=b(a2−9)
=b(a+3)(a−3)．
故答案为：b(a+3)(a−3)．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
15.【答案】(1,6)
【解析】【分析】
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
过点A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】
解：过点A和点B分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−8,3)，
∴OC=2，AD=CE=3，OD=8，
∴CD=OD−OC=6，OE=CE−OC=3−2=1，
∴BE=6，
∴则B点的坐标是(1,6)，
故答案为(1,6)．
16.【答案】解：(1)(m+2)(m−2)−(3m2n−6n)÷3n
=(m2−4)−(3m2−2)
=m2−4−3m2+2
=−2m2−2；
(2)(a−4)(a+1)+3a
=a2−3a−4+3a
=a2−4
=(a+2)(a−2)．
【解析】(1)先计算整式乘法和整式除法，再合并同类项；
(2)先计算整式乘法，再进行因式分解．
此题考查了整式乘除运算和因式分解的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
17.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅x−1x+1⋅−(x−1)x+1
=−x−1x+1，
当x=(12)−1+30=2+1=3时，原式=−3−13+1=−12．
【解析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据零指数幂、负整数指数幂求出x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、零指数幂和负整数指数幂，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原方程去分母得：5x+2=3x，
解得：x=−1，
检验：将x=−1代入x(x+1)得：−1×0=0，
则x=−1是分式方程的增根，
故原方程无解；
(2)原方程去分母得：x(x−1)−2=x(x−3)，
整理得：−x−2=−3x，
解得：x=1，
检验：将x=1代入x(x−3)得：1×(−2)=−2≠0，
故原方程的解为x=1．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，
由题意得，1000x=25002x−2.5，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
则2x=2×100=200．
答：第二次购进200件文具；
(2)第一次购进单价为：1000÷100=10(元)；
第一次购进100件文具，利润为：(15−10)×100−30=470(元)；
第二次购进200件文具，利润为：(15−12.5)×200−125=375(元)，
两笔生意是盈利：利润为470+375=845元．
答：文具店老板在这两笔生意中是盈利．
【解析】(1)设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，根据第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元，列分式方程求解；
(2)分别求出两次销售的利润，即可判断盈亏．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
20.【答案】解：选择①②作为条件，③作为结论，命题正确，理由如下：
∵AB/​/CE，
∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ECA=∠ECD，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC．
【解析】选择①②作为条件，③作为结论，根据平行线的性质和角平分线的定义可证得∠A=∠B，由等腰三角形的判定即可得到AC=BC．
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，命题，解答的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义证得∠A=∠B．
21.【答案】解：(1)如下图：

(2)∠B=2∠C，
理由如下：
连接AD，
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=DC，
∴∠C=∠CAD，
∵AB=DC，
∴AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
∴∠B=2∠C．
【解析】(1)根据线段是垂直平分线的作法画图；
(2)理由线段的垂直平分线和等腰三角形的性质证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)(10−2t);
(2)存在．
分两种情况讨论：
①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ．
因为AB=6，所以PC=6．
所以BP−10−6=4，即2t=4．
解得t=2．
因为CQ=BP=4，v×2=4，所以v=2．
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP．
因为PB=PC，
所以BP=PC=12BC=5，即2t=5．
解得t=2.5．
因为CQ=BA=6，即v×2.5=6，解得v=2.4．
综上所述，当v=2.4或2时，△ABP与△PQC全等．
【解析】解：(1)BP=2t，则PC=10−2t；
故答案为：(10−2t)；
(2)存在．
分两种情况讨论：
①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ．
因为AB=6，所以PC=6．
所以BP=10−6=4，即2t=4．
解得t=2．
因为CQ=BP=4，v×2=4，所以v=2．
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP．
因为PB=PC，
所以BP=PC=12BC=5，即2t=5．
解得t=2.5．
因为CQ=BA=6，即v×2.5=6，解得v=2.4．
综上所述，当v=2.4或2时，△ABP与△PQC全等．
(1)利用速度公式，用t表示出BP，从而可用t表示出PC；
(2)分两种情况讨论：①当BP=CQ，AB=PC时，则根据“SAS”判断△ABP≌△PCQ，则BP=10−6=4，即2t=4.解得t=2，所以CQ=BP=4，即v×2=4；②当BA=CQ，PB=PC时，利用“SAS”判断△ABP≌△QCP，则BP=PC=12BC=5，即2t=5.解得t=2.5，所以v×2.5=6，然后分别求出对应的v的值．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了长方形的性质．
23.【答案】是 四边形AEBD或四边形ADCF或四边形AEGF
【解析】解：(1)由折叠的性质可知DA=DC，BA=BC，
∴四边形ABCD是“筝形”．
故答案为：是；
(2)结论：∠A=∠C(答案不唯一)．
理由：如图，连接BD．
在△ABC，△CBD中，∵AD=CD，AB=CB，BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠A=∠C；
(3)①如图3−1中，四边形AEBD，四边形ADCF，四边形AEGF都是“筝形”．
理由：由翻折变换的性质可知四边形AEBD，四边形ADCF是“筝形”．
连接AG，
∵∠E=∠F=90°，AE=AD=AF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG(HL)，
∴EG=FG，
∴四边形AEGF是四边形是“筝形”．
故答案为：四边形AEBD或四边形ADCF或四边形AEGF；
②当BC=BG时，如图3−1中，
∵BAD=∠BAE，△CAD=∠CAF，∠BAC=50°，
∴∠EAF=2∠BAC=100°，
∵∠E=∠F=90°，
∴∠EGF=180°−100°=80°，
∵BC=BG，
∴∠BCG=∠BGC=80°，
∴∠ACB=∠ACF=50°，
∴∠ABC=180°−50°−50°=80°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=10°，
昂CB=CG时，同法可得∠BAD=40°．
当GB=GC时，同法可得∠BAD=25°．
综上所述，满足条件的∠BAD的值为：25°，40°，10°．
(1)根据“筝形”的定义判断即可；
(2)结论：∠A=∠C(答案不唯一).利用全等三角形的判定和性质证明即可；
(3)①根据“筝形”的定义判断即可；②分三种情形：BC=BG，CB=CG，GB=GC，分别求解可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．