备战高二数学下学期期中（北师大）专题02 第一章 数列求通项与求和（考点梳理）（原卷版）

这是一份备战高二数学下学期期中（北师大）专题02 第一章 数列求通项与求和（考点梳理）（原卷版），共25页。试卷主要包含了等差型，无理型，指数型等内容，欢迎下载使用。

清单01 累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
清单02 累乘法
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
清单03 数列求通项（法）
对于数列，前项和记为；
①；②
②：
清单04 构造法
用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
清单05 倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
清单06 裂项相消法
1、等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
3、指数型
①
如：
【考点题型一】累加法求通项（）
【例1】（2024·江西南昌·二模）已知数列的前n项和，数列的首项为3，若，则（ ）
A．23B．22C．21D．20
【变式1-1】.（24-25高二下·江西·阶段练习）在数列中，，对任意，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.（23-24高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】.（多选）（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知在数列中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．可能是等差数列
C．D．若，则是递增数列
【考点题型二】累乘法求通项（）
【例2】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为
【变式2-1】.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为且则（ ）
A．B．
C．D．数列的前n项和为
【变式2-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在数列中，，则通项公式 ．
【变式2-3】.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 .
【变式2-4】.（22-23高三上·江西萍乡·期末）记为数列的前项和，知，.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（）
【例3】（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
【变式3-1】.（多选）（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
【变式3-2】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为数列的前n项和，，时，.
(1)求的通项公式；
【变式3-3】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
【变式3-4】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设为数列的前项和，且.
(1)为何值时，是等比数列；
【考点题型四】已知等式中左侧含有：（）
【例4】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求，的通项公式；
【变式4-1】.（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 .
【变式4-3】.（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．
(1)求的通项公式；
【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（）
【例5】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】.（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】.（多选）（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．D．数列为等比数列
【变式5-3】.（24-25高二上·甘肃·期末）已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ．
【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（）
【例6】（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ．
【变式6-1】.（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】.（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
【变式6-3】.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ．
【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（）
【例7】（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】.（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，，
(1)求数列，的通项公式；
【变式7-2】.（23-24高二上·重庆·期中）已知数列满足，则 ．
【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式．
【变式7-4】.（2024高三·全国·专题练习）已知，，求的通项公式．
【考点题型八】数列求和之倒序相加法（）
【例8】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： .
【变式8-1】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
【变式8-2】.（24-25高二·全国·课后作业）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【变式8-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A．B．C．D．
【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（）
【例9】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式9-1】.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【变式9-2】.（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和.
【变式9-3】.（24-25高三上·北京·阶段练习）等差数列的前项和，其中为常数.
(1)求的通项公式及的值；
(2)设，求数列的前项和.
【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（）
【例10】（23-24高二上·北京·期末）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求通项公式及的最小值；
(2)数列为等比数列，且，，求数列的前n项和；
(3)数列满足，其前n项和为，请直接写出的值（无需计算过程）．
【变式10-1】.（2024·北京东城·三模）已知数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【变式10-2】.（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式10-3】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项的和.
【变式10-4】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式;
(2)设，求数列的前项和.
【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（）
【例11】（2024江西南昌·三模）是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若的前n项和为，求证：．
【变式11-1】.（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)若数列的前项和为，证明：.
【变式11-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式11-3】.（23-24高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若满足，求数列的前项和公式.
【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（）
【例12】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
【变式12-1】.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围.
【变式12-2】.（24-25高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，.
①求数列的通项公式；
②若，记的前项和为，证明：.
【变式12-3】.（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值.
【考点题型十三】数列求和之错位相减法（）
【例13】（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和为，求．
【变式13-1】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知是等比数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式13-2】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）数列中，，
(1)求的值；
(2)令，求数列的通项公式
(3)求数列的前项和
【变式13-3】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【变式13-4】（23-24高二下·江西萍乡·期中）正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（）
【例14】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知等差数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式14-1】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知等差数列 前项和为，且 .
(1)若 ，求证：数列 是等差数列.
(2)求数列的前项和.
【变式14-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，它的前项和为，且.
(1)求数列的前n项和的最小值.
(2)求数列的前项和为.
【变式14-3】.（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【考点题型十五】数列中新定义题（）
【例15】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列共有项，若对满足的任意正整数，均存在正整数，，使得，，，，互不相同，同时，则称数列具有性质．
(1)判断数列是否具有性质；
(2)已知数列具有性质，且，共有8项，，求满足题意的数列的个数；
(3)已知数列具有性质，且，中至少有5项不相等，求的最小值．
【变式15-1】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每项与之间插入一项，组成新的数列，记数列前项和为，若，求的最小值；
(3)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对，若不存在，请说明理由.
【变式15-2】.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列．
(1)若，写出一个数列
(2)若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列：
(3)若数列是等差数列，求的最小正整数．
【变式15-3】.（24-25高三下·江西·开学考试）若数列满足：对任意正实数，都存在正整数，当时，都有成立，则称数列为“收敛”数列.已知集合，若集合的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素差的绝对值大于1，则称该子集为集合“隔离”子集.记的“隔离”子集的个数为个.
(1)求和的值；
(2)若，探究之间的关系，并证明；
(3)设，证明；数列是“收敛”数列.
【变式15-4】（2024·江西上饶·一模）已知数列，设分别为与空间直角坐标系中轴，轴，轴正方向相同的单位向量，.
(1)，求的值.
(2)定义：若，且，则，根据上述定义，若，设，求.
(3)若数列均为正项数列，且为常数，且，求证：.
提升训练
一、单选题
1．（24-25高三上·江西·阶段练习）设是公差为2的等差数列，且，若，则（ ）
A．2024B．2025C．4048D．4050
2．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）数列的前n项和为，，则的值为（ ）
A．20B．25C．30D．35
5．（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（ ）
A．18B．28C．40D．54
6．（23-24高二上·广东湛江·期中）数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
7．（23-24高二上·重庆·阶段练习）数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．1011B．1013C．2022D．2023
8．（2023·江西景德镇·三模）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．时，的最小值为2022
C．有最大值
D．时，的最大值为4043
10．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，，则（ ）
A．B．是递减数列
C．D．
三、填空题
11．（2025·江西上饶·一模）已知为数列的前项和，，，则的通项公式为 ；令，则 ．
12．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则 ，设，数列的前项和为，则 .
四、解答题
13．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若，求使取得最大值时的的值.
14．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中.
(1)若，，求；
(2)若，，求数列的前n项和；
(3)若，证明：.
15．（2025·江西·一模）已知数列满足.
(1)若为递增数列，求的取值范围；
(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.
16．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，且数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
17．（23-24高二下·江西·阶段练习）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和.
(1)若，求数列的前项和；
(2)对互不相等的质数，证明：，并求的值.
18．（2024·江西·二模）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列．
(1)若数列为2级等差数列，且前四项分别为，，，，求数列的前项和；
(2)若，且是3级等差数列，求数列的前项和．
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求