备战高二数学下学期期中（人教A）专题02 第四章 数列求通项与求和（考点梳理）（原卷版）

这是一份备战高二数学下学期期中（人教A）专题02 第四章 数列求通项与求和（考点梳理）（原卷版），共21页。试卷主要包含了等差型，无理型，指数型等内容，欢迎下载使用。

清单01 累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
清单02 累乘法
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
清单03 数列求通项（法）
对于数列，前项和记为；
①；②
②：
清单04 构造法
用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
清单05 倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
清单06 裂项相消法
1、等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
3、指数型
①
如：
【考点题型一】累加法求通项（）
【例1】（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（六））已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的前2024项的和为 ．
【变式1-2】.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式．
【考点题型二】累乘法求通项（）
【例2】（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
【变式2-1】.（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】.（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（ ）
A．B．C．D．
【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（）
【例3】（24-25高二下·云南·开学考试）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)证明：为等差数列.
(2)求的值和的通项公式.
【变式3-1】.（河南省洛阳市创新发展联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）设数列满足.
(1)求的通项公式.
【变式3-2】.（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
【变式3-3】.（2025·福建·模拟预测）数列的前项和为，已知且．
(1)求的通项公式；
【考点题型四】已知等式中左侧含有：（）
【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】.（24-25高二上·安徽合肥·期末）数列满足：，若，则数列的前10项的和为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（）
【例5】（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足则（ ）
A．B．是等比数列
C．D．是等比数列
【变式5-1】.（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，，，则 ．
【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（）
【例6】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【变式6-1】.（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ．
【变式6-2】.（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式．
【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（）
【例7】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】.（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
【考点题型八】数列求和之倒序相加法（）
【例8】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（）
【例9】（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，.
(1)求，的通项公式：
(2)求数列的前项和.
【变式9-1】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和．
【变式9-2】.（24-25高二下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列满足，求的前项和．
【变式9-3】.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知数列中，.
(1)若依次成等差数列，求；
(2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和.
【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（）
【例10】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式;
(2)设，求数列的前项和.
【变式10-1】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于．已知．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，若，求．
【变式10-2】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【变式10-3】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和．设，求数列的前n项和．
【变式10-4】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（）
【例11】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前项和为，求证：.
【变式11-1】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，点均在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的实数的取值范围．
【变式11-2】.（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：．
【变式11-3】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且.
(1)求出的值，猜想数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，求数列的前n项和.
【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（）
【例12】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：．
【变式12-1】.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且.
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式;
(2)若，记为数列的前n项和，求证：.
【变式12-2】.（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，.
(1)求，的通项公式
(2)设，数列的前n项和为，求并证明.
【变式12-3】.（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
【考点题型十三】数列求和之错位相减法（）
【例13】（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式13-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
【变式13-2】.（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
【变式13-3】.（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）已知数列满足，且．设．
(1)求；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和．
【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（）
【例14】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)求数列的前16项的和.
【变式14-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，.
(1)求和；
(2)求的前项和.
【变式14-2】.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.
(1)求及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【变式14-3】.（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，记，求和的值.
【考点题型十五】数列中新定义题（）
【例15】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，．
(1)判断是否为“上界数列”，并说明理由；
(2)若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”；
(3)若，数列的“上界临界值”为，证明：．
【变式15-1】.（24-25高三下·天津·开学考试）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为阶跳跃数列，记．
(1)若数列为阶跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值及此时数列的前2025项的和；
(2)已知为正整数，数列为阶跳跃数列．
①求的所有不同值的和．
②对任意，令，求证：．
【变式15-2】.（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴．
(1)若，写出一组，，，使得和关于3相伴；
(2)是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由；
(3)证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，．
【变式15-3】.（24-25高三下·广东广州·阶段练习）定义：，，已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由；
(3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得．
提升训练
一、单选题
1．（2025·山东临沂·一模）设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ）
A．49B．50C．99D．100
2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知为数列的前项和，且（），则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二下·湖北随州·阶段练习）已知，设数列的前项和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·广西河池·期末）已知数列满足，，则（ ）
A．31B．45C．57D．63
6．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（ ）
A．，B．
C．，D．，
8．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则其前20项和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2025·云南·一模）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
10．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
三、填空题
11．（24-25高二下·上海·开学考试）将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 .
12．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于9，则 ．
四、解答题
13．（2025·陕西安康·二模）数列满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，证明：数列的前项和．
14．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
15．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．（四川省宜宾市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
17．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求