备战高二数学下学期期中（人教A）专题03 第五章 导数在研究函数中的作用（考点梳理）（原卷版）

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清单01 由函数单调性求参数取值范围
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
（3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
清单02 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
清单03 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
清单04 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
清单05 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（）
【例1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】．（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）的单调递减区间为 .
【变式1-2】.（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数．
(1)时，曲线在处的切线与处的切线平行，求的值；
(2)若函数是增函数，求实数的取值范围；
(3)若，求函数的单调区间与极值．
【变式1-3】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，曲线在处切线的斜率为.
(1)求实数的值；
(2)研究的单调性；
(3)求的极值.
【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（）
【例2】（24-25高二下·山西·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 .
【变式2-1】.（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】.（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】.（24-25高三上·黑龙江·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 .
【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（）
【例3】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【变式3-2】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
【变式3-3】.（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（）
【例4】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围.
【变式4-1】.（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】.（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ．
【变式4-3】.（2025高三下·全国·专题练习）函数．若在区间上不单调，求a的取值范围．
【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（）
【例5】（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】.（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．为的极小值点B．为的极大值
C．在区间上，是增函数D．在区间上，是减函数
【变式5-2】.（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】.（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递减D．在上单调递增
【变式5-4】.（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ）
A．的单调递减区间是
B．的单调递增区间是，
C．当时，有极值
D．当时，
【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（）
【例6】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间.
【变式6-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性；
【变式6-2】.（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【变式6-3】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
【变式6-4】.（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（）
【例7-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性．
【例7-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
【变式7-1】.（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论的单调性．
【变式7-2】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性.
【变式7-3】.（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为4，求的值；
(2)讨论函数的单调性.
【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（）
【例8】（2025·山东聊城·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【变式8-1】.（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
【变式8-2】.（24-25高二上·重庆·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若有两个极值点，证明：．
【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（）
【例9-1】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最小值和最大值．
【例9-2】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求函数的解析表达式；
(2)求函数的极值.
【变式9-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
【变式9-2】.（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)当时，求曲线在处的切线方程；
(3)当时，求曲线的极值.
【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（）
【例10】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数，且当时，取得极值
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
【变式10-1】．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处取得极小值，且极小值为．
(1)求的值；
(2)求在上的最值.
【变式10-2】.（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
【变式10-3】.（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值.
【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（）
【例11-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知函数，求的单调区间与极值．
【例11-2】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)求在上的最大值.
【变式11-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）设函数，求函数的极值．
【变式11-2】.（24-25高三上·吉林通化·期末）已知，其中．
(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；
(2)求的极值点；
【变式11-3】.（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求函数在的最小值.
【考点题型十二】根据函数的最值求参数（）
【例12】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为2，求的值．
【变式12-1】.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
【变式12-2】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上的最大值是，求a的值．
【变式12-3】.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值．
【变式12-4】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知函数在时有极大值.
(1)求的值；
(2)若在的最大值为32，求实数的取值范围.
提升训练
一、单选题
1．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
①函数有极大值
②函数有极小值
③函数有极大值
④函数有极小值
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·四川南充·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．​B．​
C．​D．
4．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．和
5．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ）
A．B．C．3D．
6．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数在时取得极值13，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象在的切线的斜率为0
B．函数在上单调递减
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值
10．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）函数的单调递增区间是
12．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，当时有极大值3，则 ; .
四、解答题
13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
14．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
15．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知 函数
(1)若， 求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性
16．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求的最小值；
(2)若，试讨论的单调性．