备战高二数学下学期期中（人教A）专题01 高二下学期期中真题精选（第六章 计数原理+第七章 随机变量及其分布）（原卷版）

这是一份备战高二数学下学期期中（人教A）专题01 高二下学期期中真题精选（第六章 计数原理+第七章 随机变量及其分布）（原卷版），共26页。试卷主要包含了两个计数原理综合，排列数与组合数的计算，二项展开式的第项等内容，欢迎下载使用。

题型一 两个计数原理综合（重点）
题型二 排列数与组合数的计算
题型三 组合数的性质应用
题型四 相邻与不相邻问题
题型五 特殊元素（位置）优先
题型六 间接法（高频）
题型七 分配问题
题型八 涂色问题（难点）
题型九 二项展开式及其逆应用（易错）
题型十 二项展开式的第项 （重点）
题型十一 二项式系数（和） （易错）
题型十二 系数和，系数最值（高频）
题型十三 两个二项展开式，三项展开式系数问题
题型十四 条件概率（难点）
题型十五 全概率公式（难点）
题型十六 二项分布和超几何分布（重点）
题型十七 正态分布（重点）
一、两个计数原理综合（共6小题）
1．（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120种B．156种C．188种D．240种
2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A．24种B．10种C．9种D．15种
3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（ ）
A．240种B．150种C．60种D．180种
4．（23-24高二下·山西长治·期中）甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（ ）
A．300种B．120种C．240种D．180种
5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．18种
6．（24-25高三上·四川内江·期中）安排甲､乙､丙､丁､戊5名大学生去延安､宝鸡､汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 .
二、排列数与组合数的计算（共5小题）
1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（ ）
A．5B．20C．60D．120
2．（23-24高二下·吉林·期中）已知，则 ．
3．（23-24高二下·山东青岛·期中） .
4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知，则 ．
5．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ；
（2） 若 ，则x的值为_____；
（3） 若 ，求正整数n．
三、组合数的性质应用（共8小题）
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（ ）
A．84B．83C．70D．69
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值可以是（ ）
A．10B．12C．13D．15
3．（23-24高二下·四川眉山·期中）若，则的值为（ ）
A．63B．64C．127D．128
4．（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（ ）
A．54B．55C．164D．165
5．（多选）（23-24高二下·江苏连云港·期中）若，则m的取值可能是（ ）
A．4B．5C．8D．9
6．（多选）（23-24高二下·山东济宁·期中）下列关于组合数的等式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 .
8．（23-24高二下·浙江台州·期中）方程的解是 .
四、相邻与不相邻问题（共7小题）
1．（23-24高二下·广西桂林·期中）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（ ）
A．1600种B．14400种C．2880种D．2400种
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144B．288C．576D．720
3．（22-23高二下·北京延庆·期中）某晚会要安排4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法（ ）？
A．720B．576C．480D．144
4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（ ）
A．1152种B．1040种
C．864种D．288种
5．（多选）（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ）
A．共有种排法B．若两名女生相邻，则有种排法
C．若两名女生不相邻，共有种排法D．若男生甲位置固定，则有种排法
6．（多选）（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（ ）
A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种
B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种
C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种
D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种
7．（多选）（23-24高二下·江苏南通·期中）某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（ ）
A．专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法
B．专家和专家发言不相邻，共有种排法
C．三位专家的发言必须相邻，共有720种排法
D．专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法
五、特殊元素（位置）优先（共6小题）
1．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有 种．（用数字作答）
2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有 个．（用数字作答）
3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）现有4男3女站成一排：若7人中，甲必须站在排头，有多少种不同排法 ，若女生必须排在一起，有多少种不同的排法 .（结果用数字作答）
4．（23-24高二下·福建泉州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 .（用数字作答）
5．（22-23高二下·河南郑州·期中）安排名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，则不同排法的总数是 用数字作答
6．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）共6人进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，其中已知和都不是第1名，且名次好于，则这6人的名次排列情况种数为 .
六、间接法（共5小题）
1．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A．360种B．336种C．216种D．120种
2．（23-24高二下·江苏南京·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为（ ）
A．90B．120C．180D．210
3．（22-23高二下·河南洛阳·期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（ ）.
A．15B．11C．14D．23
4．（22-23高二下·浙江温州·期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种．
5．（22-23高二下·江苏常州·期中）如图所示，某人从A按最短路径走到B，其中PQ段道路施工，不能通行，问共有 种不同的行走路线.

七、分配问题（共8小题）
1．（23-24高三下·重庆·期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（ ）
A．6B．12C．10D．14
2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．18B．24C．48D．72
3．（23-24高二下·山西大同·期中）为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法种数有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．72种
4．（23-24高二下·广东茂名·期中）将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（ ）种．
A．60B．120C．240D．480
5．（23-24高二下·浙江·期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为 ．
6．（23-24高二下·安徽亳州·期中）有五位志愿者，参加三项志愿活动，每人至少参加一项，每项活动至少一人的参加方式为 ．
7．（23-24高二下·湖北鄂州·期中）五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是 ．
8．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务.
(1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答）
(2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）
八、涂色问题（共6小题）
1．（23-24高二下·河北石家庄·期中）在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（ ）
①图中共有675个不同的矩形
②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种
③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条
A．0B．1C．2D．3
2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
A．96B．84C．60D．48
3．（23-24高二下·天津南开·期中）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答）
注：各位老师相邻情况如下右图所示．
4．（23-24高二下·天津·期中）如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法．（用数字作答）

5．（23-24高二下·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是 .
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格．
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答）
(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答）
(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）．
九、二项展开式及其逆应用（共5小题）
1．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
2．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·安徽宿州·期中）（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）设，化简（ ）．
A．B．C．D．
5．（22-23高二下·安徽·期中） ．
十、二项展开式的第项（共5小题）
1．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（ ）
A．B．C．216D．
2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·云南保山·期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 .
4．（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ．
5．（23-24高三上·北京·期中）在的二项展开式中，第四项为 ．
十一、二项式系数（和）（共10小题）
1．（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（ ）
A．B．15C．D．20
2．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，第（ ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.
A．第项B．第项C．第项D．第项
4．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（ ）
A．60B．80C．100D．120
5．（23-24高二下·福建泉州·期中）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若的展开式中二项式系数和为64，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 .
9．（23-24高二下·天津·期中）的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）．
10．（22-23高二下·浙江·期中）已知展开式的前三项的二项式系数之和为29.
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
十二、系数和，系数最值（共10小题）
1．（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．这8个数中最大值为35
2．（多选）（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．展开式中最大的系数为
3．（多选）（23-24高二下·重庆渝北·期中）在的展开式中，含项的系数为，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．展开式的各项系数和为0
C．展开式中系数最大项是第6项
D．展开式中系数最大项是第7项
4．（23-24高二下·浙江台州·期中）在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合；
(3)系数最大的项是第几项.
5．（22-23高二下·重庆江北·期中）已知二项式的展开式中的系数为，常数项为，且.
(1)求的值；
(2)求展开式中系数最小的项.
6．（23-24高二下·上海·期中）已知，，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的展开式中系数绝对值最大的项．
7．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式，________．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
8．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知.
(1)若，求中含项的系数；
(2)若，求.
9．（23-24高二下·河南商丘·期中）设，且．
(1)求与的值；
(2)求的值．
10．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m．
(1)求实数m的值；
(2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式）
①；
②．
十三、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共8小题）
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A．B．0C．5D．10
3．（23-24高二下·安徽·期中）二项式的展开式中的系数为（ ）
A．B．40C．D．60
4．（多选）（23-24高二下·湖北·期中）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为1B．存在无理项
C．常数项为400D．的系数为－80
5．（多选）（23-24高二下·安徽六安·期中）若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）展开式中，x的一次项的系数为 ．
7．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知的展开式中项的系数为 ．
8．（23-24高二下·江苏徐州·期中）的展开式中所有不含的项的系数之和为（ ）
A．B．C．1D．243
十四、条件概率（共8小题）
1．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数均为偶数”，“两次的点数之和为6”，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·湖南·期中）已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）
A．0.85B．0.8C．0.75D．0.7
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 .
7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为 ．
8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为 .
十五、全概率公式（共10小题）
1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
3．（22-23高二下·北京延庆·期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·山东青岛·期中）某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（ ）
A．0.62B．0.84C．0.92D．0.98
5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·天津·期中）为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（ ）
A．0.28B．0.24C．0.26D．0.30
7．（23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
8．（22-23高二下·福建漳州·期中）流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为.
(1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率；
(2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率.
9．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
10．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.
(1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率.
十六、二项分布和超几何分布（共10小题）
1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；
(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望
2．（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列．
3．（23-24高二下·青海海东·期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列.
4．（23-24高二下·北京延庆·期中）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率；
(2)如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率；
(3)如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论.
5．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题：
(1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率；
(2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少?
6．（23-24高二下·浙江·期中）李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
(1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好．
7．（23-24高二下·北京·期中）动车和BRT（快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示：
(1)若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；
(2)记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；
(3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取3人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的分布列及数学期望.
8．（23-24高二下·北京顺义·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．
(1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；
(2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．
(3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）
9．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
(2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差．
十七、正态分布（共9小题）
1．（23-24高二下·浙江·期中）已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③
A．这次考试成绩超过100分的约有1000人
B．这次考试分数低于70分的约有40人
C．
D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
2．（23-24高二下·辽宁·期中）已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（ ）
A．50B．55C．59D．64
3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 .
4．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知随机变量，则 .注：若，则,.
5．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知随机变量，且，则的最小值为 ．
6．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数．
(1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差；
(2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数）
(3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则；；．
7．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
(1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率；
(2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上；
（ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：若，则，.
8．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
9．（23-24高二下·山东青岛·期中）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150．
①利用该正态分布．求；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）．
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励60元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表：
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：，若，则
回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
满意程度
30岁以下（不含30岁）
30~50岁（含30岁，不含50岁）
50岁及50以上
乘坐动车
乘坐BRT
乘坐动车
乘坐BRT
乘坐动车
乘坐BRT
满意
50
5
100
10
100
20
一般
20
15
40
20
20
25
不满意
5
0
20
10
20
20
组别（支出费用）
频数
3
4
8
11
41
20
8
5
资金
50
100
概率