备战高二数学下学期期中（人教B）清单01 两个计数原理及排列组合（考点梳理）（原卷版）

这是一份备战高二数学下学期期中（人教B）清单01 两个计数原理及排列组合（考点梳理）（原卷版），共10页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理等内容，欢迎下载使用。

清单01 计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法
注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
清单02 排列
①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且.
清单03 组合
①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
公式：，其中，且
规定：
③排列与组合的关系
④组合数的性质
性质1：；
性质2：.
清单04 分类问题
【考点题型一】两个计数原理综合（）
【例1】已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（ ）
A．40B．20C．17D．15
【变式1-1】已知集合，且，则集合，，所有可能的情况种数为（ ）
A．216B．200C．27D．25
【变式1-2】今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种
【变式1-3】25人排成5×5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？
【变式1-4】从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为（ ）
A．56B．54C．53D．52
【考点题型二】排列数计算（）
【例2】（1）求值:
（2）求不等式：的解集．
【变式2-1】下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】计算：
(1)；
(2)解方程．
【变式2-3】（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ；
（3）已知，那么 ．
【变式2-4】证明下列等式．
(1)；
(2)．
【考点题型三】组合数的计算及性质应用（）
【例3】已知，则的值是（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
【变式3-1】求等式中的值.
【变式3-2】的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（1）解方程：；
（2）计算：；
（3）计算.
【变式3-4】若，求m.
【考点题型四】捆绑法和插空法（）
【例4】五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种.
【变式4-1】某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．194B．240C．388D．480
【变式4-2】现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答）
【变式4-4】某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为
【考点题型五】特殊元素法（）
【例5】由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种
A．540B．684C．756D．792
【变式5-1】用这5个数组数，可以组成（ ）个无重复数字的三位偶数．
A．24B．30C．36D．48
【变式5-2】某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他5名男同学中安排5名同学依次发言．若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有（ ）
A．840种B．960种C．1080种D．1200种
【变式5-3】个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为 .
【变式5-4】为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有四项，每项任务至少一人参加，每个人只参加一项任务，但两名女记者不参加A任务，则不同的安排方案数共有 .
【考点题型六】间接法（）
【例6】某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【变式6-1】从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）
A．15B．40C．55D．70
【变式6-2】（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（ ）
A．60种B．64种C．78种D．81种
【变式6-4】甲口袋中有标号为、、的三张卡片，乙口袋中有标号为、、、的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有 种（用数字作答）
【考点题型七】部分定序问题（）
【例7】在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法．
【变式7-1】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72B．36C．12D．6
【变式7-2】某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式．
【变式7-3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示）
【变式7-4】六名同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有 ．
【考点题型八】分组分配问题（）
【例8】北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ）
A．15B．90C．270D．540
【变式8-1】某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ）
A．36种B．48种C．56种D．72种
【变式8-2】某市为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有 ．
【变式8-3】有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 种(用数字作答)．
【变式8-4】已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加．
(1)求不同安排方案的种数（用数字作答）；
(2)若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数（用数字作答）；
(3)若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数（用数字作答）．
【考点题型九】隔板法（）
【例9】求方程的非负整数解的个数.
【变式9-1】将9个相同的小球放入3个不同的盒子中共有多少种方法（每个盒子中至少放入一个小球）（ ）
A．28B．56C．36D．84
【变式9-2】将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 .
【变式9-3】关于的方程（其中，且）的解共有 组．（用数字作答）
【变式9-4】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
【考点题型十】涂色问题（）
【例10】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A．2520种B．3360种C．3570种D．4410种
【变式10-1】给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种B．180种C．192种D．168种
【变式10-2】如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A．540B．600C．660D．720
【变式10-3】如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 .
【变式10-4】国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有 种．

相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
（关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题）
问题
方法
“在”与“不在”的有限制条件的排列问题
既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.
相邻问题
“捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题
“插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中
定序问题
先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正面考虑比较复杂的问题
“间接法”，反面入手
平均分组问题
一般先分堆，再除以.
不平均分组问题
先分堆，其中有组个数一样，再除以
相同元素的“分配”问题
“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，