备战高一数学下学期期中（北师大）专题01 高一下学期期中真题精选（解析版）

这是一份备战高一数学下学期期中（北师大）专题01 高一下学期期中真题精选（解析版），共69页。试卷主要包含了诱导公式化简问题等内容，欢迎下载使用。

题型一 任意角与弧度制
题型二 三角函数定义
题型三 诱导公式化简问题 （易错）
题型四 三角函数的图象与性质（高频）
题型五 三角函数图象变化（高频）
题型六 求三角函数解析式（高频）
题型七 生活中的三角函数模型
题型八 平面向量的概念
题型九 平面向量的加减数乘运算
题型十 平面向量的数量积（重点）
题型十一 向量的模（易错）
题型十二 向量的夹角（易错）
题型十三 向量的平行垂直关系（高频）
题型十四 利用正、余弦定理解三角形（难点）
题型十五 三角形个数问题
题型十六 判断三角形形状
题型十七 三角形周长定值问题（难点）
题型十八 三角形面积问题定值问题（难点）
题型十九 解三角形的实际应用（难点）
一、任意角与弧度制（共7小题）
1．（24-25高一上·江苏淮安·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】找出终边相同的角
【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可.
【详解】与终边相同的角可表示为：，
对A，，解得：，故A错；
对B，，解得：，故B对；
对C，，解得：，故C错；
对D，，解得：，故D错.
故选：B
2．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.
【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥，
则，所以，则，
，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，
而，
所以该封闭图形的面积为.
故选：C
3．（23-24高一下·北京延庆·期中）下列与角的终边关于y轴对称的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数对称性的应用
【分析】由对称性求解即可.
【详解】与角的终边关于y轴对称的角是.
故选：B.
4．（23-24高一下·北京·期中）已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据垂径定理可得，结合扇形的面积公式计算即可求解.
【详解】扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图，
设扇形的半径为，由垂径定理得，即，
故扇形的面积为.
故选：D.
5．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）下列各角与角终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据终边相同的角的定义判断即可.
【详解】所以与终边相同的角构成的集合为，
当时，；
当时，.
故选：AD
6．（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是
【答案】
【知识点】根据图形写出角（范围）
【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果.
【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为，
故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是.
故答案为：.
7．（24-25高一上·广东佛山·期中）如图，扇形AOB的面积是，它的周长是20cm，求扇形的圆心角的弧度数为 .

【答案】/
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】借助扇形周长与面积公式计算即可得.
【详解】设弧AB长为，扇形半径为，
由题意，得，解得或，
若，此时，不符，故舍去；
若，此时，符合要求.
故答案为：.
二、三角函数定义（共4小题）
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六
【分析】由条件，根据三角函数定义求，结合诱导公式求结论.
【详解】角的终边过点，
则点到原点的距离，
所以，
所以．
故选：A．
2．（24-25高三上·北京通州·期中）已知角终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】由终边上的点及三角函数定义求得，进而求余弦值.
【详解】根据三角函数定义得，故，
则．
故选：A
3．（24-25高一上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则a等于（ ）
A．1B．C．1或D．1或
【答案】A
【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】
利用三角函数的定义，直接列出关系式求出的值．
【详解】
角的终边经过点，且，
所以，并且，
解得（舍）或．
故选：A．
4．（24-25高一上·天津津南·期中）若角的终边过点， 则 的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】由点坐标求出点到原点的距离，利用余弦函数的定义可得结果.
【详解】∵角的终边过点，
∴，
∴.
故选：C.
三、诱导公式化简问题（共6小题）
1．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B.
【详解】利用诱导公式化简：
已知角的终边经过点，可得，且.
分子分母同时除以：
.
故选：B
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用定义求某角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.
【详解】由题意得，
，
故选：C.
3．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）已知，则下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：C
4．（24-25高三上·天津河西·期中）化简： .
【答案】
【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用诱导公式对原式化简即可得出结果.
【详解】易知
.
故答案为：
5．（23-24高一下·江西赣州·期中）计算 .
【答案】/
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.
【详解】原式.
故答案为：.
6．（23-24高一上·河北保定·期中）已知角的终边在直线上．
(1)求及的值；
(2)若函数，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解；
（2）根据诱导公式化简函数，结合（1）就可求解；
【详解】（1）设为直线上除去原点的任意一点，
则，
若角的终边在第四象限，则
；
当角的终边在第二象限，则
.
（2）
，
或.
四、三角函数的图象与性质（共9小题）
1．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【知识点】诱导公式二、三、四、求csx型三角函数的单调性
【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解.
【详解】已知，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，.
故选：.
2．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】求出的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得.
【详解】，
又因为在上有且仅有4个零点，
，解得
故选：B.
3．（23-24高一下·北京延庆·期中）下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性
【分析】逐个函数分析，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．
【详解】对于A，为偶函数，
对，且，因为在上为增函数，
所以，所以，
故在上为增函数，故A正确；
对于B，为奇函数，故B错误；
对于C，为奇函数，故C错误；
对于D，为偶函数，
但取，，，
则，故D错误.
故选：A.
4．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的一个周期B．函数在上是增函数
C．函数的图像关于点对称D．函数是偶函数
【答案】C
【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心
【分析】先利用诱导公式进行化简，然后结合正切函数的性质检验各选项即可判断.
【详解】由题可得：，根据正切函数得周期性可知，函数的最小正周期为，故A错误；
根据正切函数的性质可知，在上是减函数，故B错误；
根据正切函数的性质可知，的图像关于点对称， 取，则函数的图像关于点对称，故C正确；
的图象关于原点对称，为奇函数，故D错误；
故选：C
5．（23-24高一下·河南南阳·期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．已知，则
C．已知函数，，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则
D．设函数是常数，.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为
【答案】C
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正切函数对称性的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】根据诱导公式可以判断AB的真假；根据正切函数的图象和性质确定函数的解析式，判断C的真假；根据正弦函数的图象和性质判断D的真假.
【详解】对A：因为.故A错；
对B：因为，所以
则，故B错；
对C：根据题意可得和是其相邻的两个对称中心得，
所以.又因为在区间内单调递减，
所以，则，
因为为的对称中心，所以，
所以，又因为，所以.故C正确；
对D：记函数的最小正周期为，，
又，且，
所以函数的一条对称轴为，由，
所以函数的一个对称中心为，
所以，所以，故D错.
故选：C
6．（23-24高一下·北京延庆·期中）关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有1个零点．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【知识点】函数对称性的应用、求余弦（型）函数的最小正周期、求函数零点或方程根的个数
【分析】选项①，根据条件得到，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令，直接求出的值，即可得出③的正误，从而得出结果.
【详解】对于①，因为，所以，
故，所以选项①正确，
对于②，因为
，由对称轴的定义知，
为函数的一条对称轴，所以选项②正确，
对于③，因为，
令，得到，
解得或，又，
由，得到，由，得到，
所以在区间上有2个零点．选项③错误，
故选：A.
7．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的最大值为 .
【答案】
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】根据三角恒等式化简，结合在的值域求最大值即可.
【详解】由于，所以.
又函数，
所以当时，.
故答案为：.
8．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】
【知识点】利用余弦函数的单调性求参数
【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解.
【详解】，令，
可得：,
由可得，
由题意可得 ，解得 ，所以的取值范围为 .
9．（23-24高一下·新疆·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调增区间；
(3)当时，求函数的最小值及相应的x的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)时取得最小值
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）由最小正周期的计算公式计算即可；
（2）由整体法代入求解即可；
（3）利用整体法求解范围，进而可求解最小值．
【详解】（1）由，则函数最小正周期为．
（2）令，∴，，
故函数的单调递增区间为，．
（3）时，，
当，即时取得最小值．
五、三角函数图象变化（共7小题）
1．（23-24高一下·湖南·期中）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】诱导公式五、六、相位变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据三角函数平移规则“左加右减”，结合诱导公式可解.
【详解】图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数.
故选：A
2．（23-24高一下·山东临沂·期中）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可得解.
【详解】把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，
可得的函数图象，
再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，
所以.
故选：B.
3．（23-24高一下·江苏苏州·期中）将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式
【分析】应用图像的平移伸缩得出新的函数解析式.
【详解】上所有点向左平移个单位长度得到曲线，
再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍为；
故选:D
4．（23-24高一下·江西萍乡·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据图象平移规律可得答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数
的图象，
由，则.
故选：D.
5．（23-24高一下·北京·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程
【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.
【详解】，
故要得到函数的图象，
只需将的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】B
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据题意结合三角函数图象平移逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A：可得，不合题意，故A错误；
对于选项B：可得，符合题意，故B正确；
对于选项C：可得，
不合题意，故C错误；
对于选项C：可得，不合题意，故D错误；
故选：B.
7．（23-24高一下·河南南阳·期中）将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是 .
【答案】
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
【详解】函数的图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
故答案为：
六、求三角函数解析式（共6小题）
1．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点在图象上即可求解．
【详解】由图象知，，即，则，
所以，
因为点在图象上，所以，即，
因为，所以，
故选：C．
2．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，图象的一个最高点为M，图象与x轴的一个交点为，且点M，N之间的距离为5，则 .
【答案】2
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据勾股定理可得,故,代入可得，即可代入求解.
【详解】由于的最大值为4，且M，N之间的距离为5，
所以,所以,故,
,
故，结合，所以，
故，因此，
故答案为：2
3．（22-23高一下·江西宜春·期中）函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为 .

【答案】
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据图像，由最值求得，根据周期求，最后找点代入求，从而得解.
【详解】由图象可知，
又，则，所以，
又在该曲线上，所以，
则，即，
又，则，故.
故答案为：.
4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，最小正周期为
(2)
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】（1）利用周期可求得，利用五点作图法的第二个关键点可求，进而求得解析式可求；
（2）由题意可得与的图象在上有两个交点，结合图象可求实数的取值范围.
【详解】（1）根据表中的数据，得，
，又，，
函数的解析式为，
令，解得，
可得，
数据补全如下表：
则最小正周期为
（2）
关于的方程在上有两个不同的实数解，
则与的图象有两个交点，
作出两函数的图象如图所示：
结合函数图像可知.
实数的取值范围为.
5．（23-24高一下·北京·期中）已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)若当时方程有唯一实根，求的范围.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】（1）由周期求出，由最低点求出，得的解析式；
（2）由，设，当时方程有唯一实根，转化为当时方程有唯一实根，利用正弦函数的图像和性质求解.
【详解】（1）由题意可得，可得，
而，可得，
再由图像上一个最低点为，可得，
且，，又因为，可得，
所以；
（2）当时方程有唯一实根，即，
时有，设，
设，
当时方程有唯一实根，即时方程有唯一实根，
作出的图像如图所示，
当时，单调递减，
由图可得时满足方程有唯一实根，
所以.
即的取值范围为.
6．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】(1)
(2)的最大值为1，对应的，最小值为，对应的
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】（1）根据图象得到和，从而得到，代入特殊点坐标求出，得到函数解析式；
（2）由得到，求出，从而得到的最大值和最小值，并得到相对应的的值.
【详解】（1）设的最小正周期为，
由图象可知，，故，
因为，所以，
则，
将代入解析式得，，
解得，
因为，所以，
故；
（2），故，
故，则，
故的最大值为1，此时，即，
的最小值为，此时，即，
所以的最大值为1，对应的，最小值为，对应的
七、生活中的三角函数模型（共6小题）
1．（23-24高一下·辽宁大连·期中）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统.黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过14分20秒，做记号的水斗与水面的距离为h米，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】三角函数在生活中的应用
【分析】理解题意，可列出时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系，从而可将代入即可得出结论.
【详解】以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题设，水斗从A转到B，则转过的角为，即每分钟转动弧度为，
从点B开始，记水斗经过时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系：，
又当分钟时，，
因为，所以，
所以，即.
故选：B．
2．（23-24高一下·四川绵阳·期中）某手表的秒针端点到中心的距离为，秒针绕匀速旋转，当时间时，点与表面上标12的点重合，将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则 ，.
【答案】
【知识点】三角函数在生活中的应用
【分析】求出，再计算、两点间的距离.
【详解】由题意知，，所以，两点间的距离，
故答案为：
3．（23-24高一下·北京·期中）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．
（1）当时，函数的对称中心坐标为 ；
（2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）．
【答案】 低
【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角函数在物理学中的应用
【分析】（1）求出及正弦函数的对称中心即得；（2）求出函数的周期，结合频率的意义判断即得.
【详解】当时，时，函数的对称中心坐标为；
当时，，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，，函数的最小正周期为，
因此函数的最小正周期为，频率为，的周期为，频率为，
所以比的频率低，即合音的音调比纯音音调低．
故答案为：；低
4．（23-24高一下·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
(1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；
(3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1).
（参考公式：)
【答案】(1)
(2)92.5m
(3)；15.3
【知识点】三角函数在生活中的应用
【分析】（1）设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，根据求出各参数得解析式；
（2）代入（1）中解析式计算可得；
（3）结合，由甲的高度求得乙的高度，利用对称性或由求得两人距离地面高度相等的时刻．
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
设时，游客甲位于点P，因为转盘直径为110m，所以，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为
由题意可得.
H关于t的函数解析式为.
（2）由（1）可知时，
.
所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后，此时乙距离地面的高度为
，
两人距离地面高度相等的时刻，
方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等因为转一周大约需要30min，，所以甲从最低点开始转动，转过，乙从最低点开始转动，转过，
此时时间为.
所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3
方法二：即时，即，
可得，解得.
所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3
方法三：甲乙距离地面的高度差为
，
利用，可得：
，
当时，，由题意可知：，
解得.
所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3.
5．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为圆上最低点与地面距离为且摩天轮转动一圈，图中与地面垂直，游客从处进入座舱，逆时针转动后到达处，设点到地面的距离为
(1)试将表示成关于的函数；
(2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共持续求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解余弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用
【分析】（1）依题意设，根据题意得到、，由周期求出，再由时求出，即可得解；
（2）令，根据余弦函数的性质解得，从而求出一个周期内观看时长，即可得解.
【详解】（1）因为摩天轮距离地面高度是周期变化，且与三角函数有关，
不妨设开始转动后距离地面的高度，
由题可知，，，
所以，，
因为，解得，此时，
因为时，代入有,
解得，
故
.
（2）令，即，
即，
解得，
所以一个周期内可观看无人机表演的时间有，
因为摩天轮转动一圈，无人机表演共持续，
，即摩天轮再次期间恰好转圈，所以，
即乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值为.
6．（23-24高一下·江西南昌·期中）4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？
【答案】(1)
(2)6，7，8，9，10月份
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用
【分析】（1）设该函数为，根据题意求得，再结合当时，最小，当时，最大，求得，即可求解；
（2）由，求得，即可求解.
【详解】（1）设该函数为（，，），其中．
根据①，可知这个函数的周期是12；
由②，可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200；
由③，可知在上是增函数，且，所以．
根据上述分析可得，故，
由，解得，
当时，最小，当时，最大，
故，且，可得，
由，得．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为.
（2）由条件，可知，
化简得，即，
解得，,
因为，且，所以，
即客栈在月份要准备400份以上的食物．
八、平面向量的概念（共4小题）
1．（22-23高一下·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量B．力C．温度D．路程
【答案】B
【知识点】平面向量的概念与表示
【分析】根据向量的定义判断即可.
【详解】由向量的定义知向量有大小和方向，其中质量、温度、路程只有大小没有方向，力既有大小又有方向，
故选：B.
2．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】平面向量的概念与表示
【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解.
【详解】因为为等腰直角三角形，，所以，
故向量与的夹角为．
故选：D
3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【答案】B
【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）
【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断.
【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误；
对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确；
对于选项C：例如，满足且，但，故C错误；
对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误；
故选：B
4．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题：
①若m为任意实数，则是的充分非必要条件；
②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件；
③“”是“”的既非充分也非必要条件.
其中命题正确的个数（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【知识点】平行向量（共线向量）、判断命题的充分不必要条件
【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则，
即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确；
对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足，
若，则成立，故必要性满足，
所以是的充要条件，故②错误；
对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足，
若可得同向，即，故必要性满足，
所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误；
故选：B
九、平面向量的加减数乘运算（共7小题）
1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量加法的运算律
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.
【详解】.
故选：D
2．（23-24高一下·安徽·期中）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则
【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得.
【详解】.
故选：A.
3．（22-23高一下·北京延庆·期中）已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】向量加法的运算律、向量加法的法则
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】因为为边中点，可得，
又因为，可得.
故选：B.
4．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D
【答案】A
【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题
【分析】根据向量共线定理一一分析即可.
【详解】对A，，
则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；
对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；
对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；
对D，，因为，
故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误.
故选：A.
5．（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】向量的线性运算的几何应用
【分析】由向量的线性关系即可得到结果.
【详解】∵，，
∴，，
∴，故AB选项错误；
∴，故C选项正确，D选项错误.
故选：C
6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由，是平面内的一组基底，向量与共线，
则存在实数使得，可得，解得.
故选：A.
7．（23-24高一下·云南保山·期中）已知平面向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
【分析】由A，B，C三点共线，得，再根据平面向量共线定理即可得解.
【详解】若A，B，C三点共线，则，
则存在唯一实数，使得，
即，解得或.
故选：D．
十、平面向量的数量积（共8小题）
1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】根据向量的数量积的运算律求解，即可得答案.
【详解】因为单位向量的夹角为，
所以，
故选：B．
2．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知向量、满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知模求数量积
【分析】利用平面向量数量积的运算性质结合已知等式可求得的值.
【详解】因为向量、满足，且，则，
故，所以，.
故选：A.
3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算得解.
【详解】由，得，则，
由，得，又，
因此，所以.
故选：B
4．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在中，，，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【知识点】用定义求向量的数量积
【分析】根据数量积的定义运算即可得解.
【详解】因为，，，
所以
故选：D．
5．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.
【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，,为弧上的点且，则，
，
.
故选：A.
6．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则 ．
【答案】
【知识点】已知模求数量积
【分析】把两边平方可得，计算可求.
【详解】由，可得，所以，
所以，又，所以，
所以.
故答案为：.
7．（24-25高三上·山西·期中）已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量、坐标计算向量的模
【分析】利用在上的投影向量的表达式化简求解可得.
【详解】由，得，
则向量在上的投影向量为，
则，所以.
故答案为：.
8．（23-24高一下·天津·期中）在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，由点在边上（包含端点），则可设，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可.
【详解】
在直角梯形中，，
以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，
因为，
则，，，
则,
因为点在边上（包含端点），有，
设，则，
所以，则，
所以，
则，
则，
所以，
则当时，有最大值，
当时，有最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
十一、向量的模（共8小题）
1．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（ ）
A．B．C．7D．13
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律、已知数量积求模
【分析】由计算可得结果.
【详解】由可得
，
所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·天津·期中）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积、求投影向量
【分析】由已知模相等平方后得，再求出在方向上的投影，由投影向量的模为可得结论．
【详解】
∴，
因为在方向上的投影向量为单位向量，
所以，
故选：A．
3．（22-23高一下·福建泉州·期中）平面向量与的夹角为，则等于（ ）.
A．B．C．D．4
【答案】B
【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律、坐标计算向量的模
【分析】根据数量积求模长结合数量积的运算律即可.
【详解】因为,
所以.
故选：B.
4．（23-24高三上·湖北·期中）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、坐标计算向量的模
【分析】根据即可列式求解.
【详解】因为向量，满足，
所以，，
又因为，
故，
所以.
故选：C.
5．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知，设向量，.若，则 .
【答案】2
【知识点】坐标计算向量的模
【分析】按向量的坐标运算规则展开即可.
【详解】因为
所以
所以
所以
解得
故答案为：2.
6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，且.
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)4
【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律、坐标计算向量的模
【分析】（1）对化简结合数量积的定义可求得结果；
（2）先求出，然后由化简可求得答案.
【详解】（1）设向量与的夹角为，由，得，
因为，所以，
即，
解得，
又，所以，即向量与的夹角为.
（2）由（1）知，
故
.
7．（23-24高一下·山东菏泽·期中）已知向量，，，且向量与共线.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求t的值.
【答案】(1)
(2).
【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示
【分析】（1）根据向量与共线，求出，，根据向量夹角公式坐标运算可得结果；
（2）根据向量数量积及模的坐标运算求出，结合已知可得结果.
【详解】（1）因为向量与共线，所以（），
则，解得，所以，，得，
所以，
即与夹角的余弦值为.
（2）因为，，，
所以，解得.
8．（23-24高一下·浙江·期中）已知平面向量，
(1)若与垂直，求k；
(2)若向量，若与共线，求.
【答案】(1)；
(2)
【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示
【分析】（1）借助数量积的坐标运算即可得；
（2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得.
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为与垂直，所以，
整理得，解得；
（2）因为，，，
所以，，
因为与共线，故，
所以，解得，
所以，，
所以.
十二、向量的夹角（共7小题）
1．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【分析】要卖给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出，进而求出向量夹角.
【详解】由及，得，解得，
又，则，，
所以与的夹角.
故选：C
2．（24-25高一上·广西柳州·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【知识点】向量夹角的计算、求投影向量
【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出,
用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小.
【详解】因为在上的投影向量为，
则，，
，
所以与的夹角为.
故选：B.
3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、求投影向量
【分析】先根据向量垂直得出，再根据投影向量公式得出夹角余弦进而得出夹角.
【详解】因为，所以，
所以.因为向量在向量上的投影向量是，
所以，即，所以.
又因为，所以与的夹角是.
故选:B.
4．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的运算律、坐标计算向量的模
【分析】由，得，化简可得两向量的夹角.
【详解】由，得，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
故选：A.
5．（24-25高三上·湖北·期中）已知，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、坐标计算向量的模
【分析】由垂直可得数量积为0，再根据数量积运算律化简得，由夹角公式得解.
【详解】因为，且，
所以，
解得，
所以，而,
所以.
故选：B
6．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知点，点，向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示
【分析】分析可知，且与不共线，由此可求得实数的取值范围.
【详解】由已知可得，，且与的夹角为锐角，
则，可得，
又向量与不共线，则，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且．
(1)求；
(2)求与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【知识点】向量夹角的计算、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示
【分析】（1）先根据转化为，进而可得，故，即可得；
（2）由数量积的坐标运算公式求向量的夹角.
【详解】（1）因为向量，，所以，
由得，解得，所以．
又，所以．
（2）设向量与向量的夹角为，因为，，
所以．
又，所以，即向量与向量的夹角是．
十三、向量的平行垂直关系（共6小题）
1．（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量
【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，
则，解得：，.
故选：C
2．（24-25高三上·河南·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．或B．
C．2D．4
【答案】D
【知识点】利用向量垂直求参数
【分析】利用向量垂直得到，从而得到方程，求出答案.
【详解】，故，解得.
故选：D
3．（24-25高三上·陕西·期中）已知平面向量满足，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律
【分析】由可计算出，再根据模长公式计算即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
4．（24-25高三上·青海·期中）已知向量，若，则（ ）
A．0B．3C．5D．7
【答案】D
【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数
【分析】利用向量数量积的运算法则，结合向量运算的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，
所以，解得.
故选：D.
5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量.
(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；
(2)若与垂直，求的值.
【答案】(1)或
(2)
【知识点】零向量与单位向量、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数
【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可；
（2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可.
【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量，
所以设，
得到解得或
得或.
（2）因为与垂直，
所以，而，
即，
解得.
6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且．
(1)求；
(2)求与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【知识点】向量夹角的计算、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示
【分析】（1）先根据转化为，进而可得，故，即可得；
（2）由数量积的坐标运算公式求向量的夹角.
【详解】（1）因为向量，，所以，
由得，解得，所以．
又，所以．
（2）设向量与向量的夹角为，因为，，
所以．
又，所以，即向量与向量的夹角是．
十四、利用正、余弦定理解三角形（共6小题）
1．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形
【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值.
【详解】因为为的内角，则，
由二倍角的余弦公式可得，解得，
由正弦定理可得，所以，.
故选：A.
2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，内角的对边分别是.若， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】根据题意利用正弦定理可得，，结合余弦定理运算求解即可.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，即，可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故选：A.
3．（23-24高二下·广东湛江·期中）在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】设，则，然后由余弦定理得，求解即可.
【详解】因为，所以设，，
由余弦定理得，，
所以，所以．
故选：B．
4．（23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据条件，利用三角形的性质及正弦定理，即可求出结果.
【详解】由，，得，由正弦定理得，
所以，
故选：C.
5．（24-25高二上·湖南·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则 .
【答案】4
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得.
故答案为：4.
6．（24-25高三上·云南昆明·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知的面积为，，，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】由面积公式求得，结合已知求得，再利用正弦定理可得结论．
【详解】由已知，，
由，解得（负值舍去），
所以，
故答案为：．
十五、三角形个数问题（共5小题）
1．（23-24高一下·广东深圳·期中）中，角对应的边分别为，解下列三角形，只有一解的时（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】利用正弦定理判断三角形解的个数.
【详解】中，，由正弦定理，
，，则，有两解，A选项错误；
中，，由正弦定理，
，，则，有两解，B选项错误；
中，，由正弦定理，
，，则，有两解，C选项错误；
中，，由正弦定理，
，，则，有一解，D选项正确；
故选：D.
2．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，，，则满足条件的（ ）
A．不能确定B．无解C．有一解D．有两解
【答案】C
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】由题意画出图形，结合条件求出边上的高，可判断三角形解的情况.
【详解】因为，，，如图：
所以边上的高，
又，即，则此三角形有一解，
故选：C.
3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，，满足此条件的有两解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解.
【详解】∵有两解，
∴，
∴，即
故选：C.
4．（23-24高一下·山东济南·期中）在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数
【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围.
【详解】由正弦定理可得，即，
因为三角形有两解，所以且，则，即，所以，
即的取值范围是.
故答案为：
5．（23-24高一下·广东佛山·期中）记的内角的对边分别为，若，试写出一个值，使该三角形有两解，则满足题意的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）
【答案】5（答案不唯一，满足即可）
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据题意，由正弦定理即可得到，再由三角形有两解列出不等式组，即可求解．
【详解】由正弦定理得，，即，
因为三角形有两解，
所以，即，解得
故答案为：5（答案不唯一，满足即可）．
十六、判断三角形形状（共5小题）
1．（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，即可判断三角形形状.
【详解】在中，由正弦定理及，得，
而，因此，所以是等腰三角形.
故选：A
2．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用
【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可.
【详解】因为，
由正弦定理可得，所以，
又，则，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：B
3．（23-24高一下·广东湛江·期中）在△ABC中，若c＝2a cs B，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．非等边三角形
【答案】B
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用正弦定理边化角，再用内角和为，化，再通过三角恒等变形，即可得证.
【详解】由正弦定理知 (R为三角形外接圆的半径)，
故，
所以，即，
因为，所以,
所以，即．故为等腰三角形．
故选：B.
4．（23-24高一下·天津·期中）若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ．
【答案】,,
【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】由于未说明哪个角是钝角，需分或为钝角进行解答，再结合三角形三边关系和余弦定理求解即可得答案．
【详解】
由题意知钝角三边长分别为3，4，，
设为钝角，
则，
．
由于两边之差小于第三边，．
．
设为钝角，
则，
，即．
由于两边之和大于第三边，．
．
综上，或．
故答案为：,,．
5．（22-23高一下·浙江·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是 三角形．（填三角形的形状特征）
【答案】直角
【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】边化角，结合降幂公式化简整理可得.
【详解】解析：由正弦定理和降幂公式可得，
即
又，
所以
即
因为，
所以，
即
因为，所以，得，故为直角三角形．
故答案为：直角
十七、三角形周长定值问题（共5小题）
1．（24-25高三上·福建泉州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．
(1)求角C；
(2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据正弦定理或余弦定理对已知条件进行转化，结合三角公式和特殊角三角函数值，求得角C的大小；
（2）根据面积易得，进而结合余弦定理可得，进而求解周长.
【详解】（1）选①，因为，
由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，则，可得，即，
且，所以．
选②，在中，由正弦定理得，
因为，所以，化简得．
在中，由余弦定理得．
又因为，所以．
选③由及，
有，
又由正弦定理，有，
有，有，有，
又由，可得．
（2）因为AB边上的高为1，的面积为，
所以，得，
由（1）知，所以，得，
由余弦定理得，
即，得，
所以，即，
所以，则，
即的周长为．
2．（24-25高三上·河南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，.
(1)求的值；
(2)已知，为的中点，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积
【分析】（1）根据题意结合数量积和面积公式运算求解即可；
（2）根据面积可得，中，利用余弦定理可得，再求边即可.
【详解】（1）因为，则，整理可得，
且，所以.
（2）因为，可得，

又因为为的中点，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，
解得或（舍去），
结合，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以的周长为.
3．（24-25高三上·山东青岛·期中）的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若的面积为，为中点，，求的周长.
【答案】(1)
(2).
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理得，利用三角恒等变换可得，可求；
（2）根据三角形的面积可得，在中，由余弦定理可得，可求得，利用余弦定理可得，从而可求周长.
【详解】（1）由正弦定理得，
在中，，所以，
所以，
整理得，因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，，所以①，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以②，
由①②得，，，在中，由余弦定理得，
所以，所以，的周长为.
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由向量平行得出，再由余弦定理得解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求出即可得解.
【详解】（1）由，得，
整理得，
所以由余弦定理，得，
因为，所以；
（2）由题意得，
所以.
因为，，
由余弦定理得，
所以.
所以的周长为.
5．（24-25高三上·辽宁·期中）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若点到直线的距离为的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由余弦定理角化边即可求解；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由余弦定理角化边得，，整理得，
所以，
因为，所以
（2）由题知，，即，
由三角形面积公式得，所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
十八、三角形面积问题定值问题（共5小题）
1．（24-25高三上·四川·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．
(1)求A；
(2)若的外接圆面积为，角B的平分线交AC于D，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理及辨析、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；
（2）根据，即可求得边长，根据角平分线的性质，分得两个三角形面积之和等于大三角形的面积即可求得.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
即，
所以，因为，所以．
（2）由（1）可知，
因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为3，
因为，所以，，
则，
而，，
所以．
2．（24-25高三上·山东临沂·期中）在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及同角公式计算得解.
（2）由正弦定理求出，由和角的正弦公式求出，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
而，则，又，因此，，
由，得，即，
又，且，所以.
（2）由（1）及正弦定理，得，
又，
所以的面积.
3．（24-25高三上·四川自贡·期中）在中，内角的对边分别为为钝角，．
(1)求；
(2)从以下①②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
①；②．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理可得的值，再由为钝角，可得角的大小；
（2）选①：则由余弦定理可得的值，再根据面积公式求解即可；选②：由题意可得的值，由正弦定理可得边的值，再由，可得的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积；
【详解】（1）因为，，
所以，
又因为为钝角，所以为锐角，即，
所以，
由正弦定理可得：，
即，
可得，因为为钝角，所以；
（2）若选①：，由（1）可得，
则由余弦定理可得：，
整理得：，解得或（舍），
所以
若选②：因为，为锐角，所以，
由正弦定理可得：，
即，可得，
又因为
.
4．（24-25高三上·湖南·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，，求.
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，利用余弦定理可求得，即可求得A；
（2）由，可得，利用三角形的面积公式可求得，再利用余弦定理即可求得.
【详解】（1）在中，
由及正弦定理得，
整理得，
又由余弦定理得，，
因为，所以.
（2）由，，得，
即，解得，
由余弦定理可得，
，
则.
5．（24-25高二上·陕西西安·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求，.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式和正弦定理可求出结果；
（2）根据三角形面积得，再结合余弦定理可求出结果.
【详解】（1）根据正弦定理得，
则，
则，
所以，
由于，所以，所以，
所以，则，则，
由于，则，则，则．
（2）由题意：，所以．
又由余弦定理以及，
得，所以，所以，
所以．
十九、解三角形的实际应用（共5小题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题
【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解.
【详解】设，则，且，
在中，，
∴，即，
解得．
故选：B．
2．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理可求，在中，利用正弦定理可求，在中，根据余弦定理即可求解的值．
【详解】在中，，，
由正弦定理可得，
在中，，，
在中，，
可得．
故选：C．
3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（ ）（参考数据：）
A．169.50海里B．175.10海里C．182.30海里D．191.40海里
【答案】A
【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形
【分析】根据题意求出，，，在中利用正弦定理可求得，然后在中利用勾股定理可求得结果.
【详解】在中，由题意得，
所以，.
在中，由题意得，，所以，
由正弦定理得，
所以.
在中，，，
所以海里.
故选：A.
4．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据）
【答案】33米
【知识点】高度测量问题
【分析】在中，利用正弦定理求出，再借助给定的仰角计算作答.
【详解】在中，，则，
由正弦定理，得，
由在点仰角为，得米.
故答案为：33米
5．（23-24高一下·山东烟台·期中）近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设．
(1)是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：）
【答案】(1)是定值；
(2)8742元．
【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.
【详解】（1）是定值；
理由如下：在中，，，所以，
由正弦定理得，，所以．
在中，，，，
由正弦定理得，，所以．
所以为定值．
（2）由题意可知，要使总费用最低，只需最小，
在中，
，
当且仅当时“=”成立，
所以，所以的最小值为，
，
（元）
所以修路费用最少为8742元．
0
0
1
0
0
0
1
0
0