备战高一数学下学期期中（北师大）专题02 高一下学期期中真题精选（考题预测）（解析版）

这是一份备战高一数学下学期期中（北师大）专题02 高一下学期期中真题精选（考题预测）（解析版），共56页。试卷主要包含了正余弦定理与三角函数性质结合等内容，欢迎下载使用。

压轴一 三角函数中的零点问题
压轴二 三角函数中的恒（能）成立问题（重点）
压轴三 三角函数中的新定义问题（难点）
压轴四 平面向量基本定理
压轴五 向量的数量积（含最值与范围问题）（重点）
压轴六 向量的模（含最值与范围问题）
压轴七 平面向量中的新定义题（难点）
压轴八 三角形周长（边长代数和）问题（最值与范围问题）（高频）
压轴九 三角形面积问题（最值与范围问题）（高频）
压轴十 正余弦定理与三角函数性质结合 （重点）
压轴一：三角函数中的零点问题（共5小题）
1．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数与方程的综合应用、正弦函数对称性的其他应用、csx（型）函数对称性的其他应用、求零点的和
【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得.
【详解】由可得，
则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标.
对于函数，其最小正周期为，
当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,
当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.
类似可得函数在区间上的图象变化情况.
如图分别作出和在上的图象如下.
由图可知，两函数在上的图象关于直线对称，
故两者的交点与也关于直线对称，
故

即函数的所有零点的和为
故选：C.
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】将问题转化成图象交点个数即可.
【详解】由题意可将问题转化成，在上的根的个数，
也即在上的交点个数，
通过五点作图法画出两函数图象：

由图象可知共有6个交点，
所以在区间上的零点个数为6.
故选：C
3．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知向量，函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求的单调减区间；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果；
（2）由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果；
（3）将函数零点转化为函数图像交点，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.
【详解】（1），
的最小正周期.
（2）令，，
解得，，
所以的单调减区间为
（3）
由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，
令，
做出的图像与直线，如图.
由图知，当时，的图像与直线有两个交点，
4．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的最小正周期为，且的最大值为2.
(1)求和a的值；
(2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值.
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的周期及最值求解即可；
（2）根据正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1）由
，
则，即，
又，即.
（2）由（1）知，，
则，
令，即，
当时，，
因为函数在区间内有且仅有两个零点，，
结合正弦函数的图象可知，，
解得，即m的取值范围为.
又，即，
则.
5．（24-25高二上·云南玉溪·期中）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】（1）结合图象和，求得，再根据对称轴求得，即可得的解析式；
（2）根据函数图象再结合与有两个交点运算求解.
【详解】（1）由函数图象可得，，∴，∴，
即，根据图象可得，，解得，，
因为，所以，所以；
（2），∵，∴
关于x的方程在上有两个不同的实数解，
则与的图象有两个交点，结合函数图象可知．
∴实数m的取值范围为．
压轴二：三角函数中的恒（能）成立问题（共5小题）
1．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
【答案】/
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式
【分析】利用三角函数的辅助角公式，结合三角函数的值域，可得不等式，整理不等式，利用二次函数的性质，可得答案.
【详解】由，其中，
则，可得，即，
两边平方化简可得，因此，
由，则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求csx型三角函数的单调性、求csx（型）函数的最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】（1）先根据函数图象得到周期求出的值；再结合图象，根据特殊点可求出，即可求解.
（2）利用整体代换法可求出的单调递减区间.
（3）求出函数的最小值，结合存在性问题即可求解.
【详解】（1）由题意可得，则.
因为，且，所以.
由图可知，则，
解得.
因为，所以.
由图可知，解得.
故.
（2）令，解得，
所以的单调递减区间是.
（3）因为，所以，
所以当，即时，取得最小值.
因为存在，使得不等式成立，所以，
即，解得，
故的取值范围是．
3．（23-24高一下·甘肃兰州·期中）已知函数.
(1)当时，求的最值；
(2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小值为；最大值为2
(2)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式；由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（2）化简，参变分离，可得，换元，即令，，则求在上的最小值，即可求得答案.
【详解】（1）由题意化简，得函数
，
当时，，所以，
则，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为2；
（2）由题意得时， 有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以.
【点睛】方法点睛：（1）本题第二问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题.
4．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)当时，设，求证：函数有且只有一个零点；
(3)当时，若实数使得对任意实数恒成立，求的值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【知识点】零点存在性定理的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx（型）的二次式的最值
【分析】（1）利用换元法，根据二次函数的性质求解值域即可；
（2）根据零点存在性分区间讨论函数的零点情形；
（3）结合辅助角公式得对任意意实数恒成立，所以，求解即可.
【详解】（1）令，则，
，，，
故的值域为
（2），，
当时，单调递增，，
所以在有唯一零点；
当时，，所以无零点；
当时，，所以无零点.
综上：有且只有一个零点.
（3）当时，，
于是即为，
所以，对任意意实数恒成立，
所以
若，由（1）不满足（3），故，
由（2），故或，
当时，，则（1）、（3）矛盾，
故，则，
由（1）、（3）知：，所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，或者借助数形结合思想分析解决问题.
5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、数量积的坐标表示、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题意，利用平面向量的数量积和三角恒等变换求的解析式，再利用周期公式计算周期.
（2）根据题意求的解析式，令，构造函数并求最大值和最小值，从而结合正弦函数的图象与性质可得的最小值.
【详解】（1）由题知，
，
故最小正周期．
（2）结合（1）得
，
令，则，
所以，
即
可得，当，即时，；
当，即时，．
因为存在，，对任意，有恒成立，
所以为的最小值，为的最大值，所以，，
若求的最小值，即求的最小值，
利用正弦函数的图象与性质，不妨在一个周期内取两个相邻的满足题意的自变量，
即，所以．
压轴三：三角函数中的新定义问题（共5小题）
1．（24-25高三上·北京西城·期中）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.
给出下列命题：
①“函数”的充要条件是“，关于的方程都有实数解”；
②“函数”的充要条件是“既有最大值，也有最小值”；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数，的定义域相同，且，，则.
其中，正确命题的序号是 .
【答案】①④
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、函数新定义
【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；
②中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反例可判断；④中根据函数的值域，可以发现，从而发现命题正确；
【详解】对①，“”即函数值域为，
“，关于的方程都有实数解”表示的是函数可以在中任意取值，
命题①是真命题；
对②，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．
．例如：函数满足，则有，
此时，无最大值，无最小值．命题②是假命题；
对③，设函数，的定义域相同，且，，符合题意，但,故命题③是假命题．
对④，若函数，的定义域相同，且，，
则值域为，即，并且存在一个正数，使得，
，则．命题④是真命题．
故答案为：①④
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
2．（24-25高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量新定义
【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；
（3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域.
【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可.
3．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质，
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
(3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)具有，理由见解析
【知识点】函数新定义、正弦函数图象的应用
【分析】（1）根据函数在区间上具有性质的定义分析判断即可；
（2）由题意存在，使，由正弦函数的性质解出，再利用
函数在区间上具有性质，可得，从而可求出的取值范围；
（3）设，则利用累加法可得，然后分中有一个为0和中均不为0，结合定义判断即可.
【详解】（1）函数在区间上具有性质，
理由如下：若，则，
因为，且，
所以函数在区间上具有性质；
（2）由题意存在，使，
所以（舍去），或，
得，
因为，所以，
因为，且，
所以，即所求的取值范围为；
（3）函数在区间上具有性质，理由如下：
设，则
，，，……，
，……，，
以上各式相加得，
因为，
所以，
①当中有一个为0时，
不妨设，
即，
即，
所以函数在区间上具有性质，
②当中均不为0时，
由于其和为0，所以中必存在正数和负数，
不妨设，其中，，
因为函数的图象是连续不断的曲线，
所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），
其中，使得，
即，
即存在，使，
所以函数在区间上具有性质，
综上，函数在区间上具有性质.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，考查正弦函数的性质的应用，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查理解能力和计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于较难题.
4．（23-24高一下·广东东莞·期中）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域．
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增．已知．请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，②，使得．
那么，我们称是二元函数的最小值．求
的最大值．
【答案】(1)；
(2)单调递增，理由见解析；
(3)．
【知识点】向量新定义、集合新定义、数量积的坐标表示、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可；
（2）根据二元函数在定义域上沿方向单调递增的定义求解即可；
（3）根据的最大值的含义结合柯西不等式或对勾函数的性质求解即可.
【详解】（1）由已知有，
则；
（2），
，
又，
，
故在上沿向量方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，
（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当时取等号．）
故，当时取等号，（或当时取等号），
又，根据对勾函数单调性易知
当或2时，函数取最大值为．
【点睛】关键点点睛：此题关键是理解好二元函数的定义，结合函数的单调性，三角函数的运算求解.
5．（23-24高一下·上海·期中）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
(1)设，写出函数的相伴向量；
(2)已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值；
(3)已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值为，无最小值
(3)存在点
【知识点】垂直关系的向量表示、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果；
（2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果；
（3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合三角函数性质即可得结果.
【详解】（1），
所以函数的相伴向量．
（2）由题知，
由，得．
又，即，所以．
又，由正弦定理，得，，
即．
因为，所以，
所以，即的取值范围为，
故有最大值，无最小值.
（3）由（2）知，
所以，
设，因为，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
即，所以．
因为，所以，
所以，
又因为，
所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
压轴四：平面向量基本定理（共4小题）
1．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．

(1)当时，用向量表示，；
(2)证明：为定值．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【知识点】用基底表示向量、已知向量共线（平行）求参数
【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出；
（2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系.
【详解】（1）因为点是的中点，所以是的中线，所以，
当时，；
（2）由（1）知，所以，
因为、、三点共线，所以，
所以，
由已知，，所以，
所以，
因为，不共线，所以，即，消去整理可得，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：两直线交点在向量中的应用
本题中，点为直线和的交点，
所以、、三点共线，；、、三点共线，.
2．（22-23高一下·山东·期中）在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．

(1)若，求实数；
(2)试用表示；
(3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用平面向量基本定理求参数、已知向量共线（平行）求参数、平面向量的混合运算
【分析】（1）根据题意，存在实数，使得，结合三点共线，得出方程，即可求解；
（2）由（1）中，，进而得到答案；
（3）设，求得和，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解:在中，由，可得，且，
因为，则，
又因为三点共线，可得，解得.
（2）解：由（1）中，，
因为，
当时，可得.
（3）解：设，所以，
因为，又因为三点共线，所以，
所以，解得，所以满足，
3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点．
(1)用表示；
(2)设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求二次函数的值域或最值、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数
【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；
（2）设，将通过用表示，在根据共线，将通过用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的关系，代入求范围即可.
【详解】（1）由已知得
；
（2）设，
则，，
，
由于共线，设，
则，
所以，所以，
因为是线段（不含端点）上的动点，
所以，所以，
所以，
当时，.
4．（22-23高一下·安徽滁州·期中）如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，且，，设，．
(1)用向量，表示；
(2)若线段CM上存在一动点P，且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、向量加法法则的几何应用、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）利用向量的加法运算即可求解；
（2）利用平面向量的线性运算得到，，再结合点M，P，C三点共线，则存在唯一的实数t，，使得，进而得到，，令，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）．
（2），，
∵点P在线段CM上，即点M，P，C三点共线，
∴存在唯一的实数t，，使得，
∴，
而，
∴，，
∴令．
对称轴为，故，
即的最大值为．
压轴五：向量的数量积（含最值与范围问题）（共5小题）
1．（23-24高一下·重庆·期中）已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为 .
【答案】/
【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】将已知化为，可判断点在内部及其边界上，记点为的中点，将转化为，结合图形求的最大值即可得解.
【详解】因为，所以，
整理得，即，
因为，所以，
所以，点在内部及其边界上，
记点为的中点，易知，当点与重合时，取得最大值1，
则，
又，所以，
所以当点到点距离最大时，取得最大值，
因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，
所以当点与点重合，且或或三点共线时，
取得最大值，
所以的最大值为
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答关键在于对已知条件得转化，根据平面向量基本定理判断点位置，然后作出图形，结合判断的最大距离即可得解.
2．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】向量减法法则的几何应用、平面向量有关概念的坐标表示、平面向量数量积的几何意义
【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解.
【详解】由题意可设：，
则，
若，即，则，
可知点C在以为直径的圆上，即圆心为，半径，
则在方向上的投影数量的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解.
3．（22-23高一下·浙江·期中）如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值
【分析】若为中点，令夹角为，由，将其化为关于和的关系式，讨论、结合求目标式的范围.
【详解】若为中点，令夹角为，如下图示，
，又，
由，则，
此时，当时最小值为；
由，则；
此时，当时最大值为；
综上，的取值范围是.
故答案为：
4．（23-24高一下·天津·期中）在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，由点在边上（包含端点），则可设，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可.
【详解】
在直角梯形中，，
以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，
因为，
则，，，
则,
因为点在边上（包含端点），有，
设，则，
所以，则，
所以，
则，
则，
所以，
则当时，有最大值，
当时，有最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
5．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值
【分析】建立直角坐标系写出点的坐标，计算得出向量的数量积再结合基本不等式得出最小值即可.
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则.设，，其中，，且
，，得.
因为，所以，
又因为，所以，则，
当且仅当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
压轴六：向量的模（含最值与范围问题）（共5小题）
1．（21-22高一下·河南商丘·期中）已知向量，则的最大值为 ．
【答案】/
【知识点】向量模的坐标表示
【分析】利用向量模的坐标形式可求的最大值.
【详解】，所以
当时，的最大值为：.
故答案为：.
2．（22-23高一下·江苏南京·期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为 ．

【答案】
【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模的坐标公式可得，故可求模的最小值.
【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设，

因为，且，故，
故，，
故，
而，故，故，
即，
所以
，
当时，.
故答案为：
3．（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题
(1)在平面直角坐标系中，已知，；
(2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中，
①已知，求；
②已知，，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②.
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、坐标计算向量的模、求含sinx（型）的二次式的最值、向量夹角的坐标表示
【分析】（1）由向量夹角余弦公式可得答案；
（2）①由题目所给信息结合向量模长公式可得答案；②由①可得表达式，后令，结合及函数单调性可得答案.
【详解】（1）依题意得， ，
则 .所以 与的夹角为；
（2）①由题意可知：
，，
则，
∴；
②由题意可知，
.
由①可得：.
令 ,又因为，
且，所以，，
∴， 则.
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值7，
即，则有，∴当时，的最大值为.
4．（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标；
（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.
【答案】（1）或；（2）
【知识点】数量积的运算律、向量模的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解；
（2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值.
【详解】（1）设D点坐标为，则，，
所以，解得或，
即点D的坐标为或.
（2）由向量与共线，
令，，则，
而向量，为单位向量，且，
于是得
，（当且仅当时取“=”），
所以的最小值为.
5．（22-23高一下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；
(2)如果点满足，设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】（1）可设，根据四边形是平行四边形得出，从而可建立关于，的方程，解出，即可；
（2）可求出，从而得出，然后可求出，然后配方即可求出最小值．
【详解】（1）设的坐标为，因为四边形是平行四边形，
所以，由于，，
故，所以，所以的坐标为；
（2），，，
，，，
，
，
所以当时，取得最小值，最小值为．
压轴七：平面向量中的新定义题（共5小题）
1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.
(1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或.
【知识点】距离新定义、求点到直线的距离、轨迹问题——直线、数量积的坐标表示
【分析】（1）利用相应概念计算即可；
（2）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形结合计算即可；
（3）根据（2）的结论及点到直线的距离公式建立等量关系计算即可.
【详解】（1）根据题意可知，
，
则，
所以；
（2）设，因为，则有，
即的轨迹，
作出的轨迹图形如图所示，
若要最大，只需最小，由图象可知当时，最大，
根据余弦函数的单调性可知此时最小，
则的最大值为；
（3）易知，
设，则，
若，则，符合题意；
若，则，
根据分段函数的性质可知，
又恒成立，
当且仅当时取得等号.
综上：或.
【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题，一方面可以转化为几何问题，作出相应正方形数形结合来处理；也可以利用绝对值的意义分类讨论来处理.
2．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；
(3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
【答案】(1)①1； ②0
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【知识点】用行列式求二元一次方程组的解、计算二阶行列式、由坐标判断向量是否共线
【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值；
（2）根据向量共线的坐标运算结合充要条件分析证明；
（3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.
【详解】（1）①由题意可得：；
②由题意可得：.
（2）若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，所以必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，可得，
因为，则，
可得，则与共线，
当且时，，则与共线，充分性得证；
综上所述：向量与向量共线的充要条件是.
（3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，③
同理，消去x，得：，④
当时，即时，由③④得：
，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件.
3．（23-24高一下·浙江台州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积
【分析】（1）由，正弦定理可得，则有；
(2)由题意，设，由等面积法得，则，可求值；
（3）由，设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由已知得，
由正弦定理可得，故直角三角形，即．
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：
，设，
由得：，整理得，
则．
（3）点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．
【点睛】关键点点睛：
解答本题首先要理解费马点的含义，第二问的关键是利用面积法得到，解答第三问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.
4．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数．
(1)设向量分别为函数与函数的特征向量，求；
(2)设向量的特征函数为，且，求的值；
(3)已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、函数新定义
【分析】（1）根据特征向量定义可得的坐标，利用数量积的坐标公式计算即得；
（2）利用特征函数定义可得，由条件求得，继而求出，最后利用与和角的正弦公式即可求得；
（3）由可推得，设利用余弦定理求得和，得，最后利用余弦函数的值域求得的取值范围.
【详解】（1）依题，，则；
（2）依题，，由整理得，
因，则，故，
因,
则 ；
（3）
如图，由题意，，且，由可得，，
不妨设则，，
由余弦定理，,，
于是，,
因，则，于是，有，
则得，即的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义函数与新定义向量在求值上的应用，属于难题.
在求解（2）时，注意运用进行拆角变换；在求时，要通过设，将相关边长用表示，便于应用余弦定理时的化简，最后运用常数分离法和余弦函数的值域即可求解.
5．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量满足，求的值；
(2)①若，用坐标表示；
②在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、向量新定义
【分析】（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得；
（3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【详解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）①设，则，
所以，
，
所以，
②，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到.
压轴八：三角形周长（边长代数和）问题（最值与范围问题）（共5小题）
1．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）根据条件，利用面积公式，得到，即可求解；
（2）利用正弦定理，根据条件，边转角得到，再由条件有，即可求解.
【详解】（1）因为，又，得到，
整理得到，又，所以.
（2）由（1）知，所以，
则，
又因为为锐角三角形，所以，得到，
所以，得到，
所以的取值范围为.
2．（24-25高三上·河北承德·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且．
(1)若，求的面积；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式计算；
（2）利用面积相等的思路得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）
由，，可得．
在中，由余弦定理得，即，可得．
故．
（2），
，，
，
．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
3．（24-25高二上·浙江衢州·期中）在平面四边形中，，点在上且满足，且
(1)求；
(2)若，求四边形周长的最大值
【答案】(1)；
(2).
【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形
【分析】（1）在中，由正弦定理，，求解得和.
（2）由（1）结合已知求得，令，，由余弦定理及基本不等式可求出的最大值，即可求出四边形周长的最大值.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
又，则，于是．
（2）依题意，，
则，有，，
则，在中，，
令，在中，由余弦定理得，
于是，解得，当且仅当时取等号，
所以四边形周长的最大值为.
4．（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______．
(1)求B的大小：
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若边上的高为1，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可；
（3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可.
【详解】（1）选择①：因为，所以，
由正弦定理得，，
即，
即，
因为，所以，所以，
又，所以．
选择②：因为，
由正弦定理得，，
即，即，
即，即，
由余弦定理得，，
又，所以．
（2）由余弦定理得，，
即，即，
所以，得，当且仅当时取得等号，
所以周长的取值范围为．
（3）由面积公式，得，
由余弦定理可得，即，
所以，所以，当且仅当“”时等号成立
所以，
所以面积的最小值为．
5．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）在中，有，其中、、分别为角、、的对边.
(1)求角的大小；
(2)设点是的中点，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）延长到满足，连接、，则为平行四边形，在中，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，在中利用三角形的三边关系，综合可得出的取值范围.
【详解】（1）解：在中，因为，
由正弦定理可得，
因为、，则，，
所以，，则，
所以，，故.
（2）解：如图，延长到满足，连接、，则为平行四边形，
则，，，，

在中，由余弦定理得：，
则，可变形为，即，
由基本不等式可得，即，
可得，当且仅当时，等号成立，
由三角形三边关系可得，则，
故的取值范围是.
压轴九：三角形面积问题（最值与范围问题）（共5小题）
1．（22-23高二下·江西景德镇·期中）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.
(1)求A；
(2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）若选①：根据余弦定理分析运算；对于②③：根据正弦定理结合三角恒等变换分析运算；
（2）根据面积公式可得，再利用基本不等式可得，进而可得结果.
【详解】（1）若选①：因为，整理得，
由余弦定理可得，
因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理可得，
则，
因为，则，则，
可得，所以；
若选③：因为，由正弦定理可得，
则，
因为，则，则
可得，所以.
（2）由题意可得：，且，
则，
即，且，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，
所以，
故的面积的最小值为.
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）△的内角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若是△边上的中线，且，求△面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再由二倍角正弦公式化简即可得解；
（2）根据中线的向量表示，两边平方后利用基本不等式求最值，再由三角形面积公式得解.
【详解】（1）在△中，由，
根据正弦定理可得，
因为为△的内角可知，，且，
所以，即，
因为为△的内角，，故，
所以，即.
（2）由题知是边的中线，所以．
两边平方得：，即，
又，故，当且仅当时等号成立．
所以，
所以△面积的最大值为.
3．（24-25高三上·江西·期中）已知中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦边角关系得，再应用和角正弦公式、三角形内角和性质化简，即可得结果；
（2）根据已知，利用余弦定理、基本不等式可得，再应用三角形面积公式求面积最大值.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理，得，
因为，且，
综上，.
（2）因为，
由余弦定理，得，
所以，当且仅当时取等号，
因为，
所以面积，即面积的最大值为.
4．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再结合三角恒等变换即可得到，则得到的大小；
（2）法一：利用正弦定理和三角恒等变换得，再利用正弦型函数值性质即可求出最值；法二：利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式即可得到最值；法三：利用几何法，找到面积最大时得情况，求出高的最大值即可得到面积最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
又因为在中，所以，所以，
所以，
所以，即.
因为，所以.
（2）法一：在中，，，
所以，
设，则.
所以，，所以，
因为，
所以，
所以
，
所以当，即时面积的最大值为.
法二：在中，已知，
所以，所以，
所以，
所以，（等号当时取得）.
所以面积的最大值为.
法三：在四边形的外接圆内考虑，因为，，则，
则的外接圆直径为，
是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大，
此时最大距离为圆心到距离加半径2，
在直角三角形中可知，圆心到距离为，所以高的最大值为，
所以面积的最大值为.
5．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若的角平分线交于，，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，所以，
即，又，所以；
（2），即，
化简得，
所以，
所以所以，
当且仅当时取“=”，
所以，所以面积的最小值为.
压轴十：正余弦定理与三角函数性质结合（共3小题）
1．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【知识点】数量积的坐标表示、正弦定理解三角形、求含sinx（型）的二次式的最值、正余弦定理与三角函数性质的结合应用
【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围.
【详解】（1）（1）因为，
可得
，
因为，所以.
（2）解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因为，所以，所以，则，
则，所以函数的值域是.
2．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解；
（2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解；
（3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以，可得.
（2）解：由（1）知，可得,
因为为锐角，所以，解得，
则，
因为，可得，所以，
所以的取值范围为.
（3）解：因为为圆直径，所以且
设，可得，，
设圆的半径为，在中，可得，
在中，可得，
所以，即，可得，
又因为，解得，
所以，
又由，
所以，
四边形的面积为 .
3．（22-23高一下·湖南·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，
．
(1)求角B；
(2)若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当且仅当时等号成立，；
(3)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角即可求解；
（2）先利用向量的线性运算将用△的边长表示出来，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；
（3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面积公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解.
【详解】（1）法1：
∵，∴，
由正弦定理得,
即，
∴，
∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
法2：
∵，∴，
∴①，
在△ABC中，由余弦定理得，②，
由①②得，即
∴由正弦定理得，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
（2）点是△内一动点，，
∴，
∴，∴，
由余弦定理知,
由基本不等式可得，即，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴；
（3）∵，∴，
∴，
又∵余弦函数在上单调，∴，即BD平分∠ABC，
又∵，，∴①，
又∵，，∴②，
由①②可得，
所以
，
又∵，且△为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴．