备战高一数学下学期期中（人教B）期中真题精选（八大压轴题型专练） （原卷版）

这是一份备战高一数学下学期期中（人教B）期中真题精选（八大压轴题型专练） （原卷版），共13页。
题型一 向量数量积的取值范围
题型二 向量模的取值范围
题型三 平面向量的新定义题
题型四 三角函数中的取值范围
题型五 三角函数中的零点问题
题型六 三角函数中的恒成立问题
题型七 三角函数中的存在性问题
题型八 三角函数中的新定义问题
题型一 向量数量积的取值范围
1．（2023·24高一下·福建莆田·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·24高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·24高一下·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（ ）
A．B．3C．1D．2
4．（2023·24高一下·吉林长春·期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．-1
6．（2023·24高一下·云南昆明·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·24高一下·江苏·期中）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
8．（2023·24高一下·江苏·期中）在直角梯形中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．
(1)若E是CD边的中点．
①试用和表示；
②若，求的值；
(2)求的取值范围．
题型二 向量模的取值范围
9．（2023·24高一下·河北沧州·期中）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．8C．D．12
10．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）已知向量满足：，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 .
13．（2023·24高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则最大值为 ，最小值为 ．
题型三 平面向量的新定义题
14．（2023·24高一下·内蒙古·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．1B．C．D．
15．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 .
16．（2023·24高一下·北京·期中）对于非零向量，定义运算“*”：.其中为的夹角.有两两不共线的三个向量下列结论不一定成立的是 .（只需写出序号）
①若，则
②
③
④
17．（2023·24高一下·福建三明·期中）设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论：
①；②；
③；④若是单位向量，则．
以上所有正确结论的序号是 ．
18．（2023·24高一下·上海嘉定·期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则
19．（2023·24高一下·福建泉州·期中）设非零向量，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.
题型四 三角函数中的取值范围
20．（2024·25高一下·河南驻马店·期中）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·25高一上·山东菏泽·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·25高一下·湖北荆州·期中）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 .
24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
25．（2024·25高一下·江苏南京·期中）已知，函数，，在上单调，则的取值范围是 .
26．（2024·25高二上·上海·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ．
题型五 三角函数中的零点问题
27．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 .
28．（2022·23高一下·江苏连云港·期中）函数的零点个数为 ．
29．（2023·24高一下·广东广州·期中）已知函数的最大值为1，其图象相邻对称轴之间的距离为. 若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称.
(1)求函数的解析式；
(2)已知常数，且函数在内恰有2024个零点，请求出所有满足条件的与.
30．（2023·24高一下·浙江温州·期中）已知函数（其中）的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
31．（2023·24高一下·河北张家口·期中）已知函数．
(1)求函数的最大值及取最大值时x的取值集合；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围．
32．（2023·24高一下·北京海淀·期中）设函数，已知存在A使得同时满足下列三个条件中的两个：
条件①：；
条件②：的最大值为2；
条件③：是图象的一条对称轴．
(1)请判断满足的两个条件，并写出函数的解析式；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围；
(3)已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求的取值范围．
33．（2023·24高一下·上海黄浦·期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）；
(2)求在区间上的零点个数；
(3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．
题型六 三角函数中的恒成立问题
34．（2023·24高一下·北京·期中）若在恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·24高一下·四川内江·期中）函数的一段图象如图所示．
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
36．（2023·24高一下·湖北·期中）已知函数.
(1)求的对称中心；
(2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.
（i）求的值域；
（ii）当时，恒成立，求实数的取值范围.
37．（2023·24高一下·上海·期中）已知 ，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值：
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
38．（2023·24高一下·湖北·期中）已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)设，若，恒成立，求时t的最大值.
题型七 三角函数中的存在性问题
39．（2022·23高一下·辽宁沈阳·期中）已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
40．（2023·24高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图像如图所示.

(1)求函数的解析式;
(2)函数的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值
(3)函数，对，是否存在唯一实数，使得成立，若存在，求范围，若不存在，说明理由.
41．（2023·24高一下·河南南阳·期中）设函数，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围.
42．（2022·23高二下·上海·期中）已知向量，函数，．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
43．（2023·24高一下·广西钦州·期中）对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系
(1)若判断与是否具有关系并说明理由；
(2)若与具有关系求实数的取值范围；
(3)已知为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意有
判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
题型八 三角函数中的新定义问题
44．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
45．（2023·24高一下·江西·期中）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若，；，，且与具有关系，求的像；
(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
46．（2023·24高一下·江西抚州·期中）若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界．
(1)求函数的上确界；
(2)已知函数，，证明：2为函数的一个上界；
(3)已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围．
参考数据：，．
47．（2023·24高一下·北京延庆·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；
(2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．