安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．－4B．2C．－2D．4
3．在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2B．8C．2或12D．4或8
5．已知数列中，，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．已知一组样本数据的方差为10，且．设，则样本数据的方差为（ ）
A．9.5B．10.5C．9.75D．10.25
7．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．D．
8．已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（ ）
A．B．C．D．5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（多选）已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有3个不同的零点，则的取值范围是
B．若有4个不同的零点，则的取值范围是
C．若有4个不同的零点，，，（），则
D．若有4个不同的零点，，，（），则的取值范围是
10．如图所示，已知，，，作以为直角顶点的等腰直角，作点和点的中点，继续作以为直角顶点的等腰直角，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（ ）

A．所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列
B．第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为
C．点的纵坐标为
D．若记第个等腰直角三角形的面积为，则
11．已知正方形的边长为2，点分别是线段上的动点，若满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，则 B．当时，点分别是线段的中点
C．当时， D．当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知双曲线的右焦点为，在双曲线左支上取一点，若直线与以双曲线实轴为直径的圆相切于，若向量，则双曲线的离心率为 .
13．从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为 .
14．在棱长为4的正方体中，为棱上的一点，且为截面上的动点，则的最小值等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．在中，角所对的边分别为是的面积，且满足.
(1)证明：；
(2)若，求角.
16．已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.
17．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点.
(1)求证：；
(2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由.
19．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．
(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；
(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；
(3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】利用指数函数的性质，求出集合，利用一元二次不等式的解法，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
由，得到，又，所以，
得到，
故选：C.
2．D
【分析】利用复数的除法运算化简，借助纯虚数的定义计算即可.
【详解】，因为z为纯虚数，所以，则，
故选：D．
3．B
【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值.
【详解】由题意可知，，
，
，
，，
，.
故选：B.
4．C
【分析】做出截面，根据圆心是否位于截面内部分两种情况，根据线段关系即可求解.
【详解】
如图，做出截面，此时圆心位于截面内部，
取中点，中点，连接、和，
易得点在上，由题意得，，，
因为，，
所以，
当不在截面内，
同第一种情况理可得，，
所以，综上所述：该四棱台的高为或.
故选：C.
5．B
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得.
【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列.
则，即，由，得，
所以.
故选：B
6．B
【分析】设样本数据的平均值为，由题意求得样本数据的平均值，再根据方差公式化简求值，即可求得答案.
【详解】设样本数据的平均值为，方差为，样本数据的方差为，
则，，
故
，
故选：B
7．B
【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解.
【详解】构造函数，其中，
则，所以，函数为偶函数，
对任意的对任意、，且，都有，
不妨设，则，可得，即，
所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数，
且，，
当时，由可得，可得；
当时，由可得，可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
8．C
【分析】根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律表示出，最后对、、分8种情况讨论，分别计算可得.
【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等，
所以它们的夹角都为,
因为，，，
所以，，，
所以

因为、、，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
综上可得当或时，.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据题意，将问题转化为函数y=fx与图象的交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案．
【详解】令，得，
即零点个数为函数与图象交点个数
，故作出函数图象如图：
由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；
有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；
有4个不同的零点，，，（），
此时，关于直线对称，所以，故C选项正确；
由C选项可知，所以，
由于有4个不同的零点，的取值范围是，
故，所以，故D选项正确.
故选：BCD
10．ABD
【分析】由题意分析逐项判断即可.
【详解】由图易知，所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列，故选项A正确；
选项B，，故选项B正确；
选项C，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
点的纵坐标为，点的纵坐标为，故选项C错误；
选项D，，故选项D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】建立平面直角坐标系，设出的坐标，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项作答.
【详解】以点为坐标原点，分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如图，

设，，，
由，得，则，
对于A，当时，得，不能得，如取，，满足条件，A错误；
对于B，当时，得，此时点分别是线段的中点，B正确；
选项C，由选项B知，，，而，，C正确；
选项D，当时，显然且，此时，否则或，矛盾，
即有，而，因此，
整理得，而，
于是，当且仅当时取等号，整理得，
令交于，显然与不重合，，，
由共线，得，即，解得，即，的最小值为，D正确.
故选：BCD
12．
【分析】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，
直线与圆相切,，
，
为的中点，，
相似于，且相似比为，
故.
.
在双曲线中，由双曲线定义知，
.
为直角三角形，
，即，解得，
故双曲线的离心率为.
故答案为:.
13．
【分析】根据组合数求所有的可能性，再求符合条件的可能，结合古典概型运算求解.
【详解】从1，2，，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有种，
能构成等差数列不同的组合的有种，
所以这三个数可以构成等差数列的概率为.
故答案为：.
14．
【分析】设E关于面的对称点为，则，再建立合适的空间直角坐标系，求出坐标即可得到答案.
【详解】设E关于面的对称点为，则面且，
以A为原点，向量为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则平面的方程为，
设，则，
因为E与关于面对称，所以，
即，
又因为E与在面的两侧，所以.
因为面，所以，从而，
又，所以，从而，
，
故的最小值等于.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法，结合点到平面距离公式进行求解.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形的面积公式和两角和的正弦公式化简已知式可得，再代入余弦定理可得，最后由正弦定理和两角和与差的正弦公式化简即可得出答案.
（2）由得，代入，结合二倍角的正弦公式和余弦公式化简即可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，
，，可得.
由余弦定理可得，
即.由正弦定理得，
即
所以，
因为，所以.
（2）由得.
因为，
所以，
所以，
展开得，
，，，
，
，
可得.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为，列出方程求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程；
（2）设点，得到直线的方程，设直线的方程为，点，根据，取得，得到直线的方程为，设，根据共线，求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为，解得，
又由，可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）解：由双曲线，可得，
设点，则直线的方程为，即，
由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，
又由，可得，解得，即直线的方程为，
设，由点共线，可得，即，得，
即点，
则点到直线的距离为
.
即点到直线的距离为定值.

17．(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出的通项公式，再根据，作差得到数列是首项为，公比为的等比数列，即可得解；
（2）由（1）可得，利用分组求和法求出，令，利用作差法判断的单调性，即可求出，从而得到关于的对数不等式，解得即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，
，即，解得或（舍去），
所以.
数列的前项和，
当时，，
当时，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
.
（2）由（1）可得，
.
令，，
单调递增，.
，，.
18．(1)证明见解析
(2)存在，点为靠近的三等分点
【分析】（1）由，证得，得到，又由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设棱上存在一点，设，
得到，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形，
因为，所以，
因为，所以，所以，即，
又因为平面，平面，且，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：如图所示，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，
由（1）知，
故，
故
假设在棱上存在一点满足题意，设.
所以
设平面的法向量为，则 ，易令，可得，所以
又由平面的一个法向量为
设二面角为，可知二面角为锐二面角
则，
整理得，即，解得或（舍去），
所以，存在点为靠近的三等分点.

19．(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为
(2)证明见解析
(3)是，．
【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；
（2）结合题意联立方程组和，化简即可求解；
（3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和AB，化简即可证明.
【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为．
（2）联立方程组，
消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取，
又由，求得直线的方程为，
联立方程组，消去得，
因为，所以直线与抛物线相切．
（3）因为，得准线为线段的中垂线，
则直线与直线的倾斜角互补，即，
设，由条件知，
联立方程组，消去得，
则，
联立方程组，消去得，
则，
所以，
故为定值．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
B
B
B
C
BCD
ABD
题号
11









答案
BCD