江西省南昌市第十中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省南昌市第十中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列各角中，与终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍
B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍
D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
7．设函数为偶函数.当满足时，有最小值2，则和的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
8．是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ）
A．10B．13C．22D．26
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．两个角的终边相同，则它们的大小相等
B．若角为第二象限角，则是第三象限角
C．第一象限角都是锐角
D．终边在直线上的角的集合是
10．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．方程有无数个解
三、填空题（本大题共3小题）
12．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形菜田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形菜田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）是扇形周长的一半，则该扇形菜田的面积为 平方米．
13．已知定义在上的函数满足，则 .
14．已知函数，在区间上是单调函数，则的取值范围 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点，且．求下列各式的值．
(1)及；
(2)；
16．已知函数．
(1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)求的对称轴与对称中心；
(3)当，求函数的值域.
17．已知函数（，，）的部分图像如图．
(1)根据图像求函数解析式．
(2)写出的解集．
(3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
18．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；
（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
19．设函数，，．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若，，使成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）．
参考数据：，．
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，因，故A错误；
对于B，因，故B正确；
对于C，因，故C错误；
对于D，因，故D错误.
故选B．
2．【答案】B
【详解】由题意，得M的位置为，即为.
故选B．
3．【答案】B
【详解】，所以是第三象限角，故，
故在第二象限.
故选B．
4．【答案】C
【详解】因为，
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
故选C.
5．【答案】A
【详解】由正弦函数性质及余弦函数性质可知：，即；
根据指数函数单调性得；由对数函数单调性得；
所以；
故选A.
6．【答案】A
【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.
【详解】将函数的图象先向左平移个单位得到，
再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故A正确；
将函数的图象先向左平移个单位得到，
再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故B错误；
将函数的图象先向右平移个单位得到，
再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故C错误；
将函数的图象先向右平移个单位得到，
再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故D错误.
故选A.
7．【答案】D
【详解】依题意，，所以，
当满足时，有最小值2，
所以，所以，
由于是偶函数，所以，而，所以.
故选D．
8．【答案】D
【详解】因为对于任意的，都有，，
所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，
故
所以为的周期，
由得，又由时，有，
可以画出与的图象，如图：
由于也关于对称，且当时，，

由图象可得，函数共有13个零点，故所有零点之和为.
故选D．
9．【答案】BD
【详解】对于A，与终边相同，但它们的大小不相等，故A不正确；
对于B，因为与的终边关于轴对称，故B正确；
对于C，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故C不正确；
对于D，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是；
若终边在直线上的角在第四象限，则集合是.
综上，终边在直线上的角的集合是.故D正确.
故选BD.
10．【答案】BCD
【详解】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；
当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；
当时， ，，故C选项不正确；
令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．
故选BCD．
11．【答案】BC
【解析】A选项，计算，判定，可得A错；
B选项，计算与，得出，可得B正确；
C选项，由，化简，可得C正确；
D选项，讨论的范围，去绝对值，求出的值域，可判断D错.
【详解】A选项，
，
所以不是的周期，故A错；
B选项，
；
，
所以，因此函数的图象关于直线对称；即B正确；
C选项，，当时，，所以，
此时，根据余弦函数的单调性，可得，其在上显然单调递增，即C正确；
D选项，由可得，则；此时；
由可得，则；此时；
综上，，所以，因此方程无解，即D错；
故选BC.
12．【答案】
【详解】扇形弧长米，径长（两段半径之和）为扇形周长的一半，
扇形周长为弧长加两段半径，
即，因此有，
米，
根据《九章算术》算法，＂以径乘周（弧长）而一＂，
即代入米和米得平方米.
13．【答案】
【详解】因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
14．【答案】
【详解】因为函数，在区间上是单调函数，
函数对称轴为，所以，或者，
所以，或者，且，
则的取值范围为．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点在第二象限，所以，
由三角函数定义可知，解得，
此时，故，
得到，故.
（2）原式，
.
16．【答案】(1)见解析；
(2)对称轴为，对称中心为；
(3)
【详解】（1）列表
函数图像如图所示
（2）令，得对称轴：，
令，得，所以对称中心为；
（3）由，得，
当，即时，；
当，即时，.
所以的值域为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由函数的图象，
知，，
∴，，
将点代入，可得：，
又∵，∴，
所以.
（2）由得，
所以，即，
所以的解集为.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，
把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象，
由在上有解，即在上有解，
因为，，
所以，
所以的取值范围为．
18．【答案】（1）；（2），其中；（3）.
【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
故.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由题意知，，所以，
又由，所以，
当时，可得，所以，
故关于时间的函数解析式为，其中.
（3）令，即，
令，解得，
因为甲乙两人相差，
又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.
1、已知函数模型求解数学问题；
2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；
3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
19．【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是和；
(2)；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据余弦函数的单调区间求出的单调区间；
（2）由已知得到的值域为的值域的子集，转化为求函数最值的问题；
（3）根据函数单调性判断函数的零点个数，求出零点的范围，进而求解.
【详解】（1）令，，解得，，
又，得的单调递增区间是和；
令，，解得，，
又，得的单调递减区间是和.
所以函数在上的单调递增区间是和，单调递减区间是和；
（2）若，，使成立，
则，，的值域应为的值域的子集.
由（1）知，在单调递减，
所以的值域为，
因为，当时，令，
则，开口方向向上，对称轴是，，
当时，在单调递减，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以，即，解得，
所以；
（3）由（1）知在上是单调递减函数，易知在上是单调递增函数，
所以在上是单调递减函数，
又，，
根据零点存在性定理知在上有唯一零点，
当时，，，
所以，
即在上无零点，
综上，在上有且只有一个零点.
因为，
所以，
所以，
所以.
【方法点拨】本题第（2）问考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
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