江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案.
【详解】由题意得，．
故选：C．
2. 函数的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象及其值域即可得出结果.
【详解】易知当时，函数取得最大值为3.
故选：C
3. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象横坐标缩短到原来的 倍，就是变为原来的2倍进行变换，即可得到答案．
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，
就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：.
故选：D.
4. 一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解.
【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为，
因为，所以，由题有，解得，
故选：B.
5. 在中，为边上的中线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】如图，
故选：C.
6. 已知，且三点共线，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示，即若向量，则当时，有，即可求解.
【详解】因为三点共线，所以，
因为，
所以，解得.
故选：A.
7. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个向量共线反向可求.
【详解】因为与的夹角为，故，故，
故选：D.
8. 设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. （多选）下列结果为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量线性运算的知识来求得正确答案.
【详解】对于A：
，故选项A不正确；
对于B：
，故选项B正确；
对于C：
，故选项C正确；
对于D：
，故选项D正确.
故选：BCD
10. 下列各式正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据诱导公式逐个选项判断即可.
【详解】根据诱导公式四，，A正确；
对于B，，B正确；
根据诱导公式五，，C错；
根据诱导公式三，，D正确.
故选：ABD
11. 如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（ ）
A. 设，，若，则
B. 设，，若，则
C. 设，则
D. 设，，若与的夹角为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量平行的坐标表示可得B正确；由向量模长的定义可得C错误；由向量数量积的定义可得D正确.
【详解】对于A，若，则，
，故A错误；
对于B，若，则，
则，所以，故B正确；
对于C，，，故C错误；
对于D，，
即，
解得，所以，故D正确．
故选：BD.
【点睛】思路点睛：关于新定义题思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得边长.
【详解】在中，，，，，则，
由正弦定理，即，解得，
故答案为：.
13. 如图所示，在四边形中，，则___________.

【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算即可得解.
【详解】因为在四边形中，，
所以
.
故答案为：.
14. 已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解.
【详解】等价于在上投影，
如图1，在单位圆圆上任取两点、，
则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小，
作于点，设，取中点，有，
则，，则，
由，故；
如图2，在单位圆圆上任取两点、，
则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大，
作于点，设，取中点，有，
则，，则，
由，故；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题.
四、解答题（77分）
15. 若角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值以及正切值.
【答案】.
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求得结果.
【详解】由三角函数的定义可得，，
.
16. 函数的部分图象如图：
（1）求解析式；
（2）写出函数在上的单调递减区间.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象求出相关参数，即可得解析式；
（2）由正弦型函数的性质求区间内的单调递减区间即可.
【小问1详解】
由题设，可得，且，
所以，又，
所以，且，可得，则；
【小问2详解】
在上，则上单调递减，
所以，可得，
所以在上的单调递减区间为.
17. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
【小问2详解】
若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
18. 已知的夹角为，，，，
（1）若，求实数t的取值范围；
（2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由列式求得值；
（2）利用共线向量定理列式求解即可.
【小问1详解】
，的夹角为，且，，
.
由，得
，解得；
【小问2详解】
由，得，
即，解得
所以存在实数，使得.
19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
（1）若，当k为何值时，与垂直？
（2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值为1，求的值.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果；
（2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算；
（3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可.
【小问1详解】
因为，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
【小问2详解】
因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.
则的最小值为2.
【小问3详解】
设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题