江西省丰城中学2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月） 数学试题（含解析）

这是一份江西省丰城中学2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月） 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．
【详解】集合中，
当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.
故选：B.
2. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ）
A. 按性别分层随机抽样B. 按学段分层随机抽样
C. 抽签法D. 随机数表法
【答案】B
【解析】
【分析】由分层抽样的概念即可判断；
【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样．
故选：B．
3. 已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为x，，x＋2y＝1，
则
，
当且仅当，即时取等.
故选：B.
4. 函数在区间内的零点个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由直接求解在内的零点即可.
【详解】由，得，
解得，
由，得，
因为，所以，
所以区间内的零点个数为4.
故选：C
5. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
综上，
故选：C
6. 命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【详解】命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，
∴解得：0＜a＜1，
②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，
∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；
命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1；
所以当0≤a＜1；推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；能推出0≤a＜1；
故P是q的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查了指数函数的单调性，属于基础题．
7. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 定义域为
C. 函数图象所有对称中心为，
D. 函数的单调递增区间为，
【答案】D
【解析】
【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确.
【详解】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误；
对于B，由正切函数定义域可得，解得；
可得的定义域为，即B错误；
对于C，利用对称中心方程可得，解得,
因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误；
对于D，根据正切函数单调性可得，
解得，
所以函数的单调递增区间为，可得D正确.
故选：D
8. 已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为与的图象交点问题，再利用新定义作出图像即可得解.
【详解】要求方程的正实数根，即求与的图像在轴右侧的交点个数，
因为，作出与的大致图象，如图，

观察图象，可知与的图象有共2个交点，
所以方程的正实数根的个数是2个.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数具有奇偶性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用奇偶性定义来逐项分析即可.
【详解】选项A，函数的定义域为关于原点对称，
又，
所以，
所以为偶函数；
选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，
所以，
所以为偶函数；
选项C，函数的定义域为关于原点对称，
又，
所以，
所以为奇函数；
选项D，函数的定义域为关于原点对称，
又，
所以，
所以为非奇非偶函数；
故选：ABC.
10. 已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 点是函数图像的一个对称中心
D. 将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到的图像
【答案】AC
【解析】
【分析】先求出，对四个选项一一验证：
对于A：利用周期公式验证；
对于B：直接代入法判断单调性验证；
对于C：代入法验证；
对于D：利用图像变换验证.
【详解】因为图像相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，所以，所以，因为直线是其中一条对称轴，所以，所以，因为，所以，，所以；
对于A，由上可知，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，若，则，所以不单调，故B错误；
对于C，当时，，所以点是函数图像的一个对称中心，故C正确；
对于D：将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，再向左平移个单位长度，得到，故D错误.
故选：AC
11. 函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确；
【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则，
又因为，令则，则故则关于直线轴对称.
又因为，故，则的周期为8.
对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误；
对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确；
对于C：上也单调递增，故C错误；
对于D：则
而在上也单调递增，则，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面上不共线的四点，若，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解.
【详解】由，得，即，
所以，
所以，即，
故答案为：
13. 已知 ，则____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式，即可求出答案.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.
14. 设函数，若，则实数a＝_____．
【答案】或
【解析】
【分析】由分段函数解析式可得在定义域内恒成立，由题意可得，分和两种情况，运算求解.
详解】当时，则；
当时，则；
综上所述：在定义域内恒成立，
令，则，解得，即，
当时，则，解得；
当时，则，解得或（舍去）；
综上所述：或.
故答案为：或.
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应解析式，即可得；
（2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，当时，，
任取，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
综上，；
【小问2详解】
当时，，所以在上单调递增；
因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增，
所以可化：
即，解得：，即实数的取值范围是.
16. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
（1）已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（2）若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果；
（2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域.
【小问1详解】
由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为.
【小问2详解】
由已知得，，则，
又，得，
因为，所以，
所以，即 ，
所以，.
17. 已知，是平面内一对不共线的向量，且，，．
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，，依题意存在唯一的实数，使得，即可得到方程组，解得即可；
（2）用作为基底，根据向量相等，得到方程组，解得即可；
【小问1详解】
解：因为，，
所以，.
因为与共线，所以存在唯一的实数，使得，
，即，解得.
【小问2详解】
解：因为，，，且，
所以，
所以，解得，，
所以.
18. 已知函数，，最小值为；的一个对称中心且在单调递减；
（1）求函数的解析式，并求的单调递增区间；
（2）将的图象，先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，令，若，总，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的性质求参数值，得到函数解析式为，应用整体法及正弦函数的性质求单调增区间；
（2）根据图象平移得，进而得到的最大值为3，进一步将问题化为a>fx+1+12fx+1恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得范围.
【小问1详解】
由题意知，则.
函数的一个对称中心，则，得，
，所以的可能取值为、.
若，则，当时，
此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；
若，则，当时，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；
所以，；
令，，解得，，
所以，的单调增区间为，；
【小问2详解】
由（1）可知，
将的图象先向右平移个单位长度，得，
再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，
所以，，所以，
由于，所以，
因为，所以，则，
由，可得，
所以，a>f2x+2fx+13fx+1=fx+12+12fx+1=fx+1+12fx+1能成立，
由，根据对勾函数的性质，当时上式右侧取得最小值为，
所以.
19. 设，.
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）推理并写出的单调区间；
（3）当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）增区间是，减区间是；
（3）.
【解析】
分析】（1）根据解析式求定义域，再由奇偶性定义证明判断奇偶性；
（2）利用单调性定义判断的单调性，结合指数函数、二次函数的性质判断的区间单调性，最后由复合函数的单调性判断的单调区间；
（3）问题化为在上恒成立，求出右侧的值域，即可得范围.
【小问1详解】
时，显然恒成立；
时，，
所以的定义域是，
又，即，
所以是奇函数.
【小问2详解】
增区间是，减区间是，证明如下：
任取，且，则，
易知在上单调递增，且，则，
所以，即，所以在上单调递减，
，
当，即时，单调递增，由复合函数的单调性知递增；
当，即时，单调递减，由复合函数的单调性知递减，
所以的增区间是，减区间是.
【小问3详解】
令，则，即在上恒成立，
令，设，对称轴为，
所以在上单调递减，从而ϕu>ϕ1=−3，
所以的取值范围是.