2023-2024学年江西省南昌十中高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌十中高一（下）第二次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.cs24°cs69°+sin24°sin111°=( )
A. − 22B. 22C. −12D. 12
2.为了得到y=sin(5x−π3)的图象，只要将函数y=sin5x的图象( )
A. 向右平移π15个单位长度B. 向左平移π15个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向左平移π3个单位长度
3.下列命题中正确的是( )
A. OA−OB=ABB. AB=BA
C. 0⋅AB=0D. AB+BC+CD=AD
4.向量a=(k,3)与向量b=(1,−1)夹角为钝角，则实数k的取值范围是( )
A. k−3且k≠3
5.下列函数中，周期为π且在[0,π2]上单调递增的函数是( )
A. f(x)=sin2xB. f(x)=cs2x
C. f(x)=ln(2−csx)D. f(x)=tan(x−12024)
6.如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为( )
A. 100 2米B. 100 3米C. 50( 6+ 2)米D. 200米
7.平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，AB⋅AD=−6，DM=13DC，则MA⋅MB的值为( )
A. 16B. 14C. 12D. 10
8.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=2，AB⊥BC，AC⊥CD，若DB=λAB+μAC，则λ+μ=( )
A. − 22
B. 22
C. 2+12
D. 2−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(1,−1)，c=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且(a−b)//c，下列说法正确的是( )
A. a与b的夹角为钝角B. 向量a在b方向上的投影为 55
C. 2m+n=4D. mn的最大值为2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0,y>0)，求x+y的最小值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：cs24°cs69°+sin24°sin111°=cs24°cs69°+sin24°sin(180°−69°)
=cs24°cs69°+sin24°sin69°=cs(69°−24°)=cs45°= 22．
故选：B．
由诱导公式和两角差的余弦公式求解即可．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：为了得到y=sin(5x−π3)的图象，只要将函数y=sin5x的图象向右平移π15个单位长度得到．
故选：A．
直接利用函数图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：OA−OB=BA，AB=−BA，0⋅AB=0，AB+BC+CD=AD，
故选：D
根据向量的加减的几何意义和向量的数量积运算即可判断
本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由于向量a=(k,3)与向量b=(1,−1)夹角为钝角，
所以a⋅b=k−30,ω>0,|φ|0，
所以35+x5y+2y5x≥35+2 (x5y)⋅(2y5x)=3+2 25，
当且仅当25x+15y=1x5y=2y5x时，即x= 2+25y= 2+15时，等号成立，
所以x+y的最小值为3+2 25．
【解析】(1)根据平面向量线性运算法则计算可得；
(2)①依题意可得CM=13CB，CN=12CA，由A、O、M三点共线，设AO=tAM，结合(1)的结论用a，b表示出CO，由B、O、N三点共线，设BO=μBN，同理表示出CO，根据平面向量基本定理得到方程，求出t、μ，再代入即可；
②依题意可得a=1xCP，b=1yCQ，结合①的结论及共线定理即得出25x+15y=1，再利用基本不等式即可求解．
本题考查平面向量基本定理的应用，考查基本不等式求最值，属中档题．
19.【答案】解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33；
(3)点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．