江苏省镇江第一中学2024-2025学年高一下学期3月份考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省镇江第一中学2024-2025学年高一下学期3月份考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【详解】.
故选：D
2. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用余弦定理解三角形即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
3. 已知正三角形的边长为1，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加减的几何意义及数量积的运算律求.
【详解】由题设.
故选：C
4. 若，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用先得到，再利用即可得到答案
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据求出，分析充分性，根据求出分析必要性.
【详解】因为，所以或，
当时，则，同向共线，
则，则充分性不成立，
若，则，反向共线，
则，此时，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
6. 已知为锐角，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据角的范围和同角的三角函数关系求出和，利用两角和的余弦公式计算可得答案.
【详解】∵为锐角，，
∴.
∵，∴，且，
∵，函数在上单调递增，
∴，
∴，
∴
.
故选：B．
7. 在平行四边形中，，则 （ ）
A. 12B. 16C. 14D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由表示出由数量积的运算律求解即可.
【详解】，，
所以
.
故选：A.
8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算.
【详解】，∴，∴，
∴ ，
所以，
故选：A．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，因为，
可得，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
10. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，举例判断，对于B，设为的中点，连接，则可得，从而分析判断，对于C，对已知等式两边平方化简进行判断，对于D，举例判断.
【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误，
对于B，因为，所以，设为的中点，连接，
则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍，
所以△AOC与△ABC面积之比为，所以B正确，
对于C，由，得，化简得，
所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确，
对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误.
故选：BC
11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 在锐角中，不等式恒成立
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，，，则的面积为
D. 若边上的高为，则时取得最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】根据为锐角三角形得，利用诱导公式及正弦函数的单调性可得选项A正确；利用正弦定理边化角可得角为锐角，但不能说明角为锐角，由此可得选项B错误；利用正弦定理和三角形面积公式可得选项C错误；利用等面积结合余弦定理表示，根据辅助角公式可得选项D正确.
【详解】设在中，角所对的边分别.
A.∵为锐角三角形，∴，即，
∵，∴，
∵在上为增函数，∴，即，A正确.
B.∵，∴，故，
由余弦定理得，，
∴角为锐角，但不能说明角为锐角，B错误.
C. ∵，，，
∴由正弦定理得，，即，故，
∵，∴或.
当时，，的面积，
当时，，的面积，
∴的面积为或，C错误.
D. ∵边上的高为，∴，即，
由余弦定理得，，
∴，故，
∴，
∵，∴，
∴当时，取得最大值，此时，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】已知，可借助两边平方带入、即可完成求解.
【详解】将两边平方，得，得.
故答案为：.
13. 已知，则_______
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用平方关系得到，从而得到，，即可求解.
【详解】由，得到，
整理得到，解得或（舍），
所以，则，
故答案为：.
14. 如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为，该测量车向北偏西方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，经计算，则两发射塔顶之间的距离为_______
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，连接，得为等边三角形，则，，由题意求得，再由余弦定理求得，即可求解．
【详解】在中，，，所以，
连接，
在中，，
又，所以为等边三角形，得到，，
在中，因为，，则，
在中，，，，
由余弦定理，得到，
解得或，过作于，则，
当时，，
当时，，所以两发射塔顶之间的距离是或．
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由值求值，即可求出；
（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.
【小问1详解】
由，可得，
.
【小问2详解】
由 ，可得，
又，
，
，
由，可得.
16. 已知函数，．
求的最小正周期；
求在闭区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
利用正弦函数的定义域和值域，求得在闭区间上的最大值和最小值．
【详解】对于函数函数
，，
它的最小正周期为．
在，故当时，函数取得最小值为；
当时，函数取得最大值为．
故函数在闭区间上的最大值为，最小值为
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数周期性，定义域和值域，属于中档题．
17. 如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
（1）若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
（2）若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得；根据（ⅰ）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解（ⅱ）；
（2）利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
,
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
【小问2详解】
由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
18. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得，
（2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解，
（3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
【小问2详解】
若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
【小问3详解】
由正弦定理得，
故
,
由于为锐角三角形，故,故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
19. 2024年是上海浦东开发开放34周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形ABCDE所示，线段BE处修建步行道，△BDE为等腰三角形，
（1）若，，.
（i）求步行道BE长度；
（ii）若沿海的△ABE区域为绿化带，，，求绿化带的面积最大值
（2）若，BE＝2AE，AB＝3km，求四边形区域ABDE面积的最大值.
【答案】（1）（i）km；（ii）km2
（2）km2
【解析】
【分析】（1）（i）由余弦定理得长度，由正弦定理得，结合勾股定理可求解；
（ii）由余弦定理、基本不等式得，结合三角形面积公式以及三角恒等变换转换为求三角函数最值即可求解.
（2）先设，在中利用余弦定理求出，利用面积公式即可求四边形的面积，接着转化为直线与半圆有交点求参数.
【小问1详解】
（i）在中，由余弦定理可得，
即，得，
由正弦定理可得，，得，
即或（舍去，否则，与三角形内角和为矛盾），
所以，
即为等腰直角三角形，
所以，即步行道的长度km.
（ii）在中，由余弦定理可得，
又，当且仅当时取等号，
则， 即，
则
，
由，得，则，
所以，等号成立当且仅当且，
所以面积的最大值为km2.
【小问2详解】
设，则由题意信息可得，，
在中利用余弦定理得，
则，
则，
又，
则四边形的面积，
因2m+m>3m+3>2m2m+3>m，则，
令，则，即，
令，，
则直线和半圆在上有交点，
半圆方程为：x−52+y2=16,y>0，画出图象如图：
当直线与半圆相切时，有最大值，此时，
得或（舍去），故四边形的面积的最大值为km2.